Ejemplo visual de intervalos y semirrectas

Intervalos y semirrectas: explicación, gráficos y ejercicios resueltos

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 3 horas · Actualizado hace 3 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué son los intervalos y las semirrectas? Definición
  2. Tipos de intervalos: abiertos, cerrados y semiabiertos
  3. Semirrectas en la recta real: los cuatro casos
  4. Cómo representar intervalos y semirrectas paso a paso
  5. Unión e intersección de intervalos: cómo calcularlas
  6. Intervalos en inecuaciones, valor absoluto y funciones
  7. Tabla resumen de intervalos y semirrectas
  8. Errores frecuentes
  9. 🧮 Conversor de intervalos y semirrectas con representación gráfica
  10. 🌍 ¿Dónde se usan los intervalos en la vida real?
  11. 🧠 Flashcards para memorizar la notación
  12. ⭐ Ejercicios de intervalos y semirrectas resueltos

¿Qué son los intervalos y las semirrectas y cómo se representan? Son formas de expresar conjuntos de números en la recta real. Un intervalo puede estar limitado por dos extremos, mientras que una semirrecta se extiende indefinidamente hacia la izquierda o hacia la derecha. Aquí aprenderás a distinguir los intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos, usar paréntesis y corchetes, pasar de desigualdades a intervalos y resolver ejercicios paso a paso.

¿Qué son los intervalos y las semirrectas? Definición

Un intervalo de números reales es un conjunto que contiene todos los números comprendidos entre dos valores, llamados extremos, con la posibilidad de incluirlos o excluirlos. Por ejemplo, el intervalo \((1,4)\) contiene números como \(1{,}5\), \(2\), \(3\) o \(\sqrt{2}\), pero no el 1 ni el 4.

Una semirrecta numérica reúne los números que están a un lado de un valor. Por ejemplo, \(x\ge 3\) significa todos los números reales desde 3, incluido, hacia la derecha sin límite. Es frecuente escribir una semirrecta como un intervalo no acotado, por ejemplo \([3,+\infty)\). Puedes repasar qué valores forman la recta en números reales.

ConceptoQué representaEjemplo
Intervalo acotadoTodos los reales entre dos extremos finitos\((-1,4]\)
SemirrectaTodos los reales hacia un lado de un extremo\([2,+\infty)\)
Recta real completaTodos los números reales\(( -\infty,+\infty)=\mathbb{R}\)
💡 Una idea importante: entre dos números reales distintos siempre hay infinitos números reales. Por eso \((2,3)\) no contiene únicamente números decimales «redondos», sino todos los reales estrictamente comprendidos entre 2 y 3.

Tipos de intervalos: abiertos, cerrados y semiabiertos

Hay cuatro formas básicas de escribir un intervalo acotado. Supongamos que \(a<b\):

TipoNotaciónDesigualdadExtremos incluidos
Abierto\((a,b)\)\(a<x<b\)Ninguno
Cerrado\([a,b]\)\(a\le x\le b\)Los dos
Semiabierto por la derecha\([a,b)\)\(a\le x<b\)Solo \(a\)
Semiabierto por la izquierda\((a,b]\)\(a<x\le b\)Solo \(b\)
Cuatro tipos de intervalos en la recta real: abierto (-2,3), cerrado [-2,3], semiabierto [-2,3) y semiabierto (-2,3], con puntos vacíos y llenos
Comparación visual: punto lleno = extremo incluido; círculo vacío = extremo excluido.

Intervalo abierto: \((a,b)\)

Contiene todos los números estrictamente entre \(a\) y \(b\), sin incluir ninguno de los extremos. Por ejemplo, \((2,6)\) equivale a \(2<x<6\). El 2 y el 6 no pertenecen al conjunto; el 4 sí.

Intervalo cerrado: \([a,b]\)

Contiene todos los números entre \(a\) y \(b\), incluidos ambos extremos. Por ejemplo, \([-1,5]\) significa \(-1\le x\le 5\).

Intervalos semiabiertos: \([a,b)\) y \((a,b]\)

Incluyen uno de los extremos y excluyen el otro. Así, \([0,4)\) admite el 0, pero no el 4; en cambio, \((0,4]\) admite el 4, pero no el 0. También se llaman semicerrados.

Ejemplo 1. ¿Pertenece cada número al intervalo \([-2,3)\)?
  1. \(-2\) sí pertenece: el corchete izquierdo lo incluye.
  2. \(0\) sí pertenece: está entre \(-2\) y \(3\).
  3. \(3\) no pertenece: el paréntesis derecho lo excluye.
  4. \(3{,}1\) no pertenece: está a la derecha del intervalo.

Semirrectas en la recta real: los cuatro casos

Una semirrecta tiene un único extremo finito y continúa hacia \(-\infty\) o hacia \(+\infty\). Se expresa con una desigualdad de una sola dirección:

SemirrectaIntervaloDesigualdad¿Incluye el extremo?
Izquierda abierta\((-\infty,a)\)\(x<a\)No
Izquierda cerrada\((-\infty,a]\)\(x\le a\)Sí
Derecha abierta\((a,+\infty)\)\(x>a\)No
Derecha cerrada\([a,+\infty)\)\(x\ge a\)Sí
Las cuatro semirrectas numéricas: x menor que 2, x menor o igual que 2, x mayor que 2 y x mayor o igual que 2, con representación gráfica
La flecha indica que el conjunto continúa indefinidamente en esa dirección.
⚠️ Atención con el infinito: \(+\infty\) y \(-\infty\) no son números reales que podamos incluir como extremos. Por eso siempre se usan paréntesis: \((-\infty,5]\) y \([2,+\infty)\) son correctos; escribir \([-\infty,5]\) o \([2,+\infty]\) es incorrecto. Puedes profundizar en el concepto de infinito.
Ejemplo 2. De desigualdad a semirrecta.

La condición \(x<-3\) describe los números menores que \(-3\). Como el \(-3\) no está incluido, escribimos:

\[x<-3\quad\Longleftrightarrow\quad(-\infty,-3)\]

Si la condición fuera \(x\ge -3\), la representación sería \([-3,+\infty)\).

Cómo representar intervalos y semirrectas paso a paso

Para pasar de una desigualdad a un intervalo o a su dibujo, sigue siempre el mismo método:

  1. Localiza los extremos. En \(-2\le x<4\), son \(-2\) y \(4\).
  2. Decide si se incluyen. Los símbolos \(\le\) y \(\ge\) indican inclusión; \(<\) y \(>\) indican exclusión.
  3. Escribe la notación. Pon corchete si el extremo está incluido y paréntesis si no lo está: \([-2,4)\).
  4. Dibuja la recta. Coloca los extremos, marca un punto lleno en \(-2\), uno vacío en \(4\) y resalta la parte comprendida entre ambos.
  5. Si solo hay un límite, dibuja una flecha hacia la izquierda para «menor» o hacia la derecha para «mayor».
Ejemplo 3. Representar \(-1<x\le 3\).
  1. El extremo izquierdo es \(-1\), excluido.
  2. El extremo derecho es \(3\), incluido.
  3. La notación es \(\boxed{(-1,3]}\).
  4. En la recta, dibuja un círculo vacío en \(-1\), un punto lleno en \(3\) y colorea entre ambos.
📌 Truco para recordar los símbolos: «mayor o igual» (\(\ge\)) y «menor o igual» (\(\le\)) llevan la palabra igual: por tanto, el extremo también cuenta. Para recordar otras notaciones, consulta nuestra guía de símbolos matemáticos.
Representación gráfica de intervalos y semirrectas
Representación de los intervalos y semirrectas sobre la recta real.

Unión e intersección de intervalos: cómo calcularlas

Los intervalos también son conjuntos y se pueden combinar. Las dos operaciones que más aparecen en los ejercicios son la unión \((\cup)\) y la intersección \((\cap)\).

Unión de intervalos: \(A\cup B\)

La unión incluye los números que están en A, en B o en ambos. Si \(A=[-2,3)\) y \(B=(1,5]\), los dos tramos se solapan y su unión cubre desde \(-2\) hasta \(5\), ambos incluidos:

\[[-2,3)\cup(1,5]=[-2,5]\]

Intersección de intervalos: \(A\cap B\)

La intersección contiene solo los números que pertenecen a ambos conjuntos simultáneamente. En el ejemplo anterior, son los que cumplen \(1<x<3\):

\[[-2,3)\cap(1,5]=(1,3)\]
Gráfico de la unión y la intersección de intervalos: A igual a [-2,3), B igual a (1,5], unión [-2,5] e intersección (1,3)
La unión reúne las dos zonas; la intersección conserva solo la zona común.

¿Qué pasa si los intervalos no se solapan?

Cuando no hay ningún número que pertenezca a ambos, su intersección es el conjunto vacío, \(\varnothing\). Por ejemplo:

\[[0,2]\cap(2,5)=\varnothing\]

Y cuando la unión deja un hueco, no debes escribirla como un solo intervalo. Por ejemplo, \((0,2)\cup(2,4)\) excluye el número 2 y, por tanto, no equivale a \((0,4)\).

Ejemplo 4. Dos intervalos que se tocan.

En \([0,2)\cup[2,4]\), el número 2 sí pertenece al segundo intervalo. No hay hueco y la unión se simplifica a \([0,4]\). En cambio, si ambos intervalos excluyeran el 2, habría que mantenerlos separados.

También puedes calcular el complementario respecto de los reales. Si \(A=[-1,2)\), todos los números reales que no están en \(A\) son:

\[\mathbb R\setminus[-1,2)=(-\infty,-1)\cup[2,+\infty)\]

Intervalos en inecuaciones, valor absoluto y funciones

La notación de intervalos es especialmente útil cuando la respuesta de un problema no es un número aislado, sino todo un conjunto de soluciones.

Soluciones de una inecuación

Ejemplo 5. Resolver \(2x-4\ge 0\).
  1. Sumamos 4: \(2x\ge 4\).
  2. Dividimos entre 2: \(x\ge 2\).
  3. La solución como semirrecta es \(\boxed{[2,+\infty)}\).

Si necesitas practicar este paso, tienes ejercicios en inecuaciones de primer grado.

Soluciones con valor absoluto

La expresión \(|x-2|<3\) significa que la distancia de \(x\) a 2 es menor que 3 unidades. Por tanto:

\[|x-2|<3\iff-3<x-2<3\iff-1<x<5\]

La solución es el intervalo abierto \(\boxed{(-1,5)}\). Si la desigualdad fuera \(|x-2|\le3\), obtendríamos el intervalo cerrado \([-1,5]\).

Dominio de una función

Por ejemplo, para \(f(x)=\sqrt{x-1}\), el radicando debe ser mayor o igual que cero. Así, \(x\ge1\) y el dominio es \([1,+\infty)\). Consulta otros casos en dominio de una función y en funciones definidas a trozos.

Tabla resumen de intervalos y semirrectas

Esta es la chuleta para estudiar y pasar de desigualdades a notación de intervalo sin confundirte:

CondiciónNotación de intervaloCómo se dibuja
\(a<x<b\)\((a,b)\)Ambos extremos vacíos
\(a\le x\le b\)\([a,b]\)Ambos extremos llenos
\(a\le x<b\)\([a,b)\)Izquierdo lleno, derecho vacío
\(a<x\le b\)\((a,b]\)Izquierdo vacío, derecho lleno
\(x<a\)\((-\infty,a)\)Hacia la izquierda, punto vacío
\(x\le a\)\((-\infty,a]\)Hacia la izquierda, punto lleno
\(x>a\)\((a,+\infty)\)Hacia la derecha, punto vacío
\(x\ge a\)\([a,+\infty)\)Hacia la derecha, punto lleno

¿Quieres ampliar los casos en los que la solución es una unión de intervalos? Repasa inecuaciones de segundo grado y inecuaciones racionales.

Errores frecuentes

⚠️ Evita estos seis errores:
  1. Confundir \((2,5)\) con \([2,5]\). El primero excluye los extremos y el segundo los incluye.
  2. Poner corchetes en el infinito. Nunca se utilizan corchetes junto a \(+\infty\) o \(-\infty\): el infinito no es un extremo incluido.
  3. Dibujar relleno un punto que no pertenece. Si hay \(<\) o \(>\), el círculo es vacío.
  4. Cambiar el sentido de una desigualdad. \(x<4\) apunta a la izquierda; \(x>4\), a la derecha.
  5. Unir intervalos que dejan un hueco. \((0,2)\cup(2,4)\ne(0,4)\).
  6. Olvidar los signos al resolver una inecuación. Al multiplicar o dividir por un número negativo, se invierte el sentido de la desigualdad.
🔍 ¿Qué ocurre cuando los dos extremos coinciden? Si \(a=b\), \([a,a]=\{a\}\) contiene un único número, mientras que \((a,a)=\varnothing\). Las tablas anteriores se han escrito suponiendo \(a<b\).

🧮 Conversor de intervalos y semirrectas con representación gráfica

Elige el tipo de conjunto, introduce los extremos y comprueba automáticamente la notación de intervalo, su desigualdad equivalente y una representación sobre la recta. Puedes usar coma o punto para los números decimales.

Prueba tus propios intervalos

Notación: [−2, 3)
Desigualdad: −2 ≤ x < 3

El dibujo es esquemático y se ajusta automáticamente a tus extremos. Para hacer gráficos más completos también puedes usar nuestro tutorial de GeoGebra.

🌍 ¿Dónde se usan los intervalos en la vida real?

🌡️ TemperaturasSi la temperatura debe estar entre 18 °C y 24 °C, incluidos ambos valores, el rango permitido es \([18,24]\).
🎟️ Edades permitidas«Desde los 12 años» se expresa como \([12,+\infty)\), si hablamos de edades medidas numéricamente.
⏱️ Duración de una prueba«Menos de 30 minutos» se representa con \([0,30)\) si consideramos tiempos físicamente posibles no negativos.
📈 Matemáticas y cienciasLos intervalos sirven para describir dominios de funciones, condiciones de medidas y soluciones de inecuaciones.

🧠 Flashcards para memorizar la notación

Pulsa cada tarjeta y comprueba si recuerdas lo esencial antes de leer la respuesta.

¿Qué significa \((a,b)\)?

Son los números reales \(x\) que cumplen \(a<x<b\). Los dos extremos están excluidos.

¿Qué significa \([a,b]\)?

Son los números reales \(x\) que cumplen \(a\le x\le b\). Los dos extremos están incluidos.

¿Cómo se representa \(x\ge4\)?

Mediante \([4,+\infty)\): punto lleno en 4 y flecha hacia la derecha.

¿El infinito lleva corchete?

No. Ni \(+\infty\) ni \(-\infty\) se incluyen en un intervalo real.

¿Qué significa \(A\cup B\)?

La unión reúne los elementos que están en A o en B (también los que están en ambos).

¿Qué significa \(A\cap B\)?

La intersección contiene únicamente los elementos que pertenecen a A y a B a la vez.

⭐ Ejercicios de intervalos y semirrectas resueltos

Intenta resolver cada ejercicio antes de pulsar «Ver solución paso a paso». Los he ordenado de menor a mayor dificultad, empezando por notación y terminando con operaciones y aplicaciones.

EJERCICIO 1Identificar un intervalo abierto
📝 Enunciado

Escribe como desigualdad el intervalo \((-4,2)\) e indica si \(-4\) y \(2\) pertenecen.

Ver solución paso a paso
  1. Los dos extremos llevan paréntesis, así que ninguno está incluido.
  2. Traducimos a la desigualdad \(-4<x<2\).
  3. Ni \(-4\) ni \(2\) pertenecen, aunque el 0 sí.
✅ Resultado: \(\boxed{-4<x<2}\)
EJERCICIO 2De desigualdad a intervalo
📝 Enunciado

Escribe en forma de intervalo \(1\le x<7\).

Ver solución paso a paso
  1. El 1 se incluye, porque aparece \(\le\): ponemos corchete.
  2. El 7 se excluye, porque aparece \(<\): ponemos paréntesis.
  3. Unimos ambos extremos.
✅ Resultado: \(\boxed{[1,7)}\)
EJERCICIO 3Una semirrecta hacia la izquierda
📝 Enunciado

Expresa como intervalo los números reales que cumplen \(x\le-5\).

Ver solución paso a paso
  1. El símbolo «menor o igual» indica los números a la izquierda de \(-5\), incluido ese valor.
  2. Empezamos en \(-\infty\), siempre con paréntesis.
  3. Terminamos en \(-5\) con corchete.
✅ Resultado: \(\boxed{(-\infty,-5]}\)
EJERCICIO 4Una semirrecta hacia la derecha
📝 Enunciado

Escribe en forma de desigualdad \((3,+\infty)\) y explica cómo se dibuja.

Ver solución paso a paso
  1. El intervalo empieza en \(3\) con paréntesis: se excluye el 3.
  2. Se extiende sin límite hacia la derecha: reúne los números mayores que 3.
  3. Dibuja un círculo vacío en 3 y una flecha a la derecha.
✅ Resultado: \(\boxed{x>3}\)
EJERCICIO 5Pertenencia a un intervalo
📝 Enunciado

Para \(A=[-2,4)\), decide cuáles pertenecen: \(-2\), \(0\), \(4\) y \(4{,}1\).

Ver solución paso a paso
  1. \(-2\) sí: corchete izquierdo.
  2. \(0\) sí: está entre los extremos.
  3. \(4\) no: paréntesis derecho.
  4. \(4{,}1\) no: supera el extremo derecho.
✅ Resultado: \(-2,0\in A\); \(4,4{,}1\notin A\).
EJERCICIO 6Unión de intervalos solapados
📝 Enunciado

Calcula \([-3,2]\cup(0,5)\).

Ver solución paso a paso
  1. El primer intervalo ocupa desde \(-3\), incluido, hasta 2, incluido.
  2. El segundo continúa desde justo encima de 0 hasta justo antes de 5.
  3. Se solapan; la unión cubre todos los valores desde \(-3\) hasta 5, sin incluir 5.
✅ Resultado: \(\boxed{[-3,5)}\)
EJERCICIO 7Intersección de intervalos
📝 Enunciado

Calcula \([-3,2]\cap(0,5)\).

Ver solución paso a paso
  1. Para estar en ambos intervalos, el número debe ser mayor que 0.
  2. También debe ser menor o igual que 2.
  3. Por tanto, 0 se excluye y 2 se incluye.
✅ Resultado: \(\boxed{(0,2]}\)
EJERCICIO 8Intervalos que se tocan sin compartir extremos
📝 Enunciado

Calcula \([1,3)\cap[3,6]\) y \([1,3)\cup[3,6]\).

Ver solución paso a paso
  1. El primer intervalo excluye 3; el segundo sí lo incluye. No hay valores comunes, porque el primero termina antes de 3.
  2. Para la unión, los valores inferiores a 3 vienen del primero y el 3 y siguientes del segundo.
  3. No queda hueco.
✅ Resultado: \(\boxed{\cap=\varnothing\qquad\cup=[1,6]}\)
EJERCICIO 9Resolver una inecuación
📝 Enunciado

Resuelve \(-3x+6<0\) y expresa el conjunto solución como semirrecta.

Ver solución paso a paso
  1. Restamos 6: \(-3x<-6\).
  2. Dividimos entre \(-3\): la desigualdad cambia de sentido, así que \(x>2\).
  3. Como 2 está excluido, ponemos paréntesis y continuamos hasta \(+\infty\).
✅ Resultado: \(\boxed{(2,+\infty)}\)
EJERCICIO 10Dos semirrectas e intersección
📝 Enunciado

Calcula \(( -\infty,4]\cap[-1,+\infty)\).

Ver solución paso a paso
  1. La primera condición es \(x\le4\).
  2. La segunda es \(x\ge-1\).
  3. Las dos a la vez se resumen como \(-1\le x\le4\).
✅ Resultado: \(\boxed{[-1,4]}\)
EJERCICIO 11Valor absoluto como intervalo
📝 Enunciado

Resuelve \(|x+1|\le2\) y escribe el resultado como intervalo.

Ver solución paso a paso
  1. La desigualdad es equivalente a \(-2\le x+1\le2\).
  2. Restamos 1 en los tres miembros: \(-3\le x\le1\).
  3. Los extremos están incluidos porque los símbolos son \(\le\).
✅ Resultado: \(\boxed{[-3,1]}\)

❓ Preguntas frecuentes sobre intervalos y semirrectas

¿Cuál es la diferencia entre intervalo y semirrecta?
Un intervalo acotado está delimitado por dos números reales, por ejemplo (1,4). Una semirrecta tiene un solo extremo finito y continúa indefinidamente en una dirección, por ejemplo [1,+∞).
¿Qué diferencia hay entre un intervalo abierto y uno cerrado?
En un intervalo abierto (a,b) ninguno de sus extremos pertenece al conjunto. En un intervalo cerrado [a,b] pertenecen ambos. Un intervalo semiabierto contiene exactamente uno de los dos extremos.
¿Cuándo se usan paréntesis y cuándo corchetes?
Usa paréntesis cuando el extremo no está incluido (< o >) y corchetes cuando sí está incluido (≤ o ≥). En el infinito se usan siempre paréntesis.
¿Cómo se representa x mayor o igual que 2?
Como [2,+∞): punto lleno en el 2 y una semirrecta con flecha hacia la derecha.
¿Cómo se representa x menor que −3?
Como (−∞,−3): círculo vacío en −3 y flecha hacia la izquierda.
¿Qué significan unión e intersección de intervalos?
La unión A∪B recoge los números que pertenecen a A o a B. La intersección A∩B recoge únicamente los números que están en A y en B a la vez.
¿Puede una unión de intervalos no ser un intervalo único?
Sí. Por ejemplo, (0,2)∪(2,4) deja fuera el número 2 y se debe mantener como unión de dos intervalos.
¿Por qué el infinito no lleva corchete?
Porque +∞ y −∞ no son números reales que puedan incluirse como extremos: indican que el conjunto se prolonga indefinidamente.
📚 Resumen final: los paréntesis excluyen extremos, los corchetes los incluyen, las semirrectas continúan hasta infinito y las operaciones \(\cup\) y \(\cap\) significan unión e intersección. La forma más segura de resolver los ejercicios es pasar siempre por la desigualdad y comprobar cada extremo.

Conclusión

Ya sabes interpretar y dibujar los cuatro tipos de intervalos, las cuatro semirrectas, y expresar soluciones de inecuaciones mediante intervalos. Recuerda comprobar si cada extremo está incluido y no utilizar corchetes con el infinito. Practica con el conversor y los ejercicios hasta que puedas cambiar de una representación a otra sin dudar.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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