Ejercicios de distribución normal. Ejemplo

Ejercicios resueltos de distribución normal

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 33 minutos · Actualizado hace 30 minutos

🔎 Índice de contenidos
  1. Cómo resolver ejercicios de distribución normal: método en 4 pasos
  2. Ejemplos resueltos de distribución normal con tipificación
  3. Ejercicios de distribución normal al revés: hallar x, μ o σ
  4. Tipos de ejercicios de distribución normal
  5. Resumen de lo más importante
  6. Errores frecuentes
  7. 🧮 Calculadora de ejercicios de distribución normal
  8. 🧠 Flashcards para memorizar
  9. ⭐ Ejercicios de distribución normal resueltos

Los ejercicios de distribución normal se resuelven siempre igual: se tipifica la variable, se lee la tabla N(0,1) y se ajusta el resultado con el complementario, la simetría o la resta. En esta guía te lo explico todo con detalle.

⚡ Ejercicios de distribución normal en 30 segundos
Si \(X\sim N(\mu,\sigma)\), tipifica con \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\), busca \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) en la tabla N(0,1) y ajusta con el complementario o la simetría.

Ejemplo: en una \(N(65,\ 10)\), la probabilidad de sacar 77 o menos es:
\[z=\frac{77-65}{10}=1{,}2\]\[P(X\le 77)=\Phi(1{,}2)=0{,}8849\]

Cómo resolver ejercicios de distribución normal: método en 4 pasos

Casi todos los ejercicios de distribución normal se resuelven con las mismas cuatro acciones. Si la variable es \(X\sim N(\mu,\sigma)\), con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\):

Método de cuatro pasos para resolver ejercicios de distribución normal: primero escribir la probabilidad con X, después tipificar con z igual a x menos mu entre sigma, luego leer la tabla N(0,1) y por último ajustar con el complementario, la simetría o la resta
  1. Escribe la probabilidad con \(X\). Por ejemplo, \(P(X\le a)\), \(P(X\ge a)\) o \(P(a\le X\le b)\).
  2. Tipifica cada valor y redondea \(z\) a dos decimales:\[z=\frac{x-\mu}{\sigma}\]
  3. Busca \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) en la tabla N(0,1). La fila es la parte entera y el primer decimal de \(z\), y la columna es el segundo decimal.
  4. Ajusta el resultado a lo que te piden. La tabla solo tiene \(z\) positivos y da probabilidades «a la izquierda», así que usas el complementario, la simetría o una resta:
Te pidenSe calcula con la tabla
\(P(Z\le a)\)\(\Phi(a)\), directo de la tabla
\(P(Z\ge a)\)\(1-\Phi(a)\), el complementario
\(P(Z\le -a)\)\(1-\Phi(a)\), por simetría
\(P(Z\ge -a)\)\(\Phi(a)\), por simetría
\(P(a\le Z\le b)\)\(\Phi(b)-\Phi(a)\), el mayor menos el menor
💡 Dibuja la campana. Un croquis con el área que te piden te dice si la respuesta tiene que ser mayor o menor que \(0{,}5\). Si el área sombreada es más de la mitad y te sale \(0{,}08\), falta el complementario.

Las soluciones de esta página usan la tabla N(0,1) que da \(\Phi(z)=P(Z\le z)\), con \(z\) hasta \(3{,}49\). La tienes completa en el artículo de la distribución normal. Como \(z\) se redondea a dos decimales, tu resultado puede diferir en la tercera o cuarta cifra decimal de lo que da una calculadora científica, y en un examen se da por buena la lectura de la tabla.

Ejemplos resueltos de distribución normal con tipificación

Tres ejemplos, de menos a más difícil. En todos, el último paso es la conclusión en palabras.

Ejemplo 1: la puntuación de un test sigue una \(N(65,\ 10)\). Calculo la probabilidad de sacar 77 puntos o menos, \(P(X\le 77).\)
  1. Tipifico el valor:\[z=\frac{77-65}{10}=1{,}2\]Entonces \(P(X\le 77)=P(Z\le 1{,}2)\).
  2. Busco en la tabla la fila \(1{,}2\) y la columna \(0{,}00\):\[P(Z\le 1{,}2)=\Phi(1{,}2)=0{,}8849\]
  3. Conclusión: el 88,49 % de las personas saca 77 puntos o menos.
Ejemplo 2: la duración de una bombilla, en horas, sigue una \(N(1200,\ 150)\). Calculo la probabilidad de que dure 1000 horas o más, \(P(X\ge 1000).\)
  1. Tipifico el valor y redondeo \(z\) a dos decimales:\[z=\frac{1000-1200}{150}=-\frac{4}{3}\approx -1{,}33\]Entonces \(P(X\ge 1000)=P(Z\ge -1{,}33)\).
  2. Uso la simetría, porque la tabla no tiene \(z\) negativos. El área a la derecha de \(-1{,}33\) es igual al área a la izquierda de \(1{,}33\):\[P(Z\ge -1{,}33)=P(Z\le 1{,}33)\]\[=\Phi(1{,}33)=0{,}9082\]
  3. Conclusión: el 90,82 % de las bombillas dura 1000 horas o más.
Campana de la normal de media 1200 y desviación típica 150. A la derecha de 1000, es decir, de z igual a menos 1,33, el área sombreada vale 0,9082 y a la izquierda quedan 0,0918

Con el valor exacto \(z=-\dfrac{4}{3}\), la probabilidad saldría \(0{,}9088\) y no \(0{,}9082\). La diferencia es solo el redondeo de \(z\).

Ejemplo 3: el peso de las naranjas de una caja, en gramos, sigue una \(N(180,\ 20)\). Calculo la probabilidad de que una pese entre 150 y 200 g, \(P(150\le X\le 200).\)
  1. Tipifico los dos extremos:\[z_1=\frac{150-180}{20}=-1{,}5\]\[z_2=\frac{200-180}{20}=1\]Entonces:\[P(150\le X\le 200)=P(-1{,}5\le Z\le 1)\]
  2. Es una resta de áreas, el mayor menos el menor:\[P(-1{,}5\le Z\le 1)=\Phi(1)-\Phi(-1{,}5)\]
  3. Busco los valores. \(\Phi(1)=0{,}8413\) y, por simetría:\[\Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332\]\[=0{,}0668\]Resto:\[0{,}8413-0{,}0668=0{,}7745\]
  4. Conclusión: el 77,45 % de las naranjas pesa entre 150 y 200 g.
Ejercicios resueltos de distribución normal.Ejemplo

Ejercicios de distribución normal al revés: hallar x, μ o σ

En un problema inverso te dan la probabilidad y te piden el valor. Es el camino de vuelta: buscas la probabilidad en el cuerpo de la tabla, lees \(z\) y deshaces la tipificación:

\[x=\mu+z\sigma\]

Si la probabilidad no está exacta en la tabla, usa el valor más cercano. Si queda justo en medio de dos, toma la media de los dos \(z\). Y si el área a la izquierda de \(x\) es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo: busca \(1-p\) y cambia el signo al final.

Ejemplo 4: el tiempo, en minutos, que tarda un grupo de corredores en una prueba sigue una \(N(52,\ 6)\). ¿Qué tiempo deja por debajo al 15 % de los corredores?
  1. Planteo. Busco \(x\) con \(P(X\le x)=0{,}15\). Como \(0{,}15\) es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo.
  2. Valor simétrico. Busco \(1-0{,}15=0{,}85\) en el cuerpo de la tabla. No está exacto. Los más próximos son \(0{,}8485\), en \(z=1{,}03\), y \(0{,}8508\), en \(z=1{,}04\). Me quedo con el más cercano, \(0{,}8508\), así que \(z=1{,}04\) y, cambiando el signo, \(z=-1{,}04\).
  3. Deshago la tipificación:\[x=\mu+z\sigma=52+(-1{,}04)\cdot 6=45{,}76\]
  4. Conclusión: el 15 % de los corredores tarda 45,76 minutos o menos.
Problema inverso en la normal de media 52 y desviación típica 6: el 15 por ciento de los valores queda por debajo de x. En la tabla se busca 0,85, que da z igual a 1,04, y por simetría z es menos 1,04. Entonces x vale 52 menos 1,04 por 6, es decir, 45,76
Ejemplo 5: una variable \(X\sim N(40,\ \sigma)\) cumple \(P(X\ge 46)=0{,}0228\). Calculo \(\sigma\).
  1. Paso al complementario:\[P(X\le 46)=1-0{,}0228=0{,}9772\]
  2. Tipifico con la incógnita: \(P\left(Z\le\dfrac{46-40}{\sigma}\right)=0{,}9772\). En la tabla, \(0{,}9772\) corresponde a \(z=2\), así que\[\frac{46-40}{\sigma}=2\]
  3. Despejo \(\sigma\):\[\sigma=\frac{6}{2}=3\]

Cuando te piden \(\mu\) o \(\sigma\) en vez de \(x\), el método es el mismo: tipificas con la incógnita, igualas a \(z\) y despejas. Si hay dos incógnitas, planteas un sistema con dos ecuaciones, como en el ejercicio 9.

Tipos de ejercicios de distribución normal

Los enunciados cambian, pero la mayoría se reduce a uno de estos tipos. En la última columna tienes el número de los ejercicios resueltos de más abajo.

TipoCómo se resuelveEjercicios
Tipificar y destipificar\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) y \(x=\mu+z\sigma\)1
Probabilidad directaTipificas, lees la tabla y usas el complementario o la simetría2, 3 y 4
Fuera de un intervaloSumas las dos colas, \(P(X\lt a)+P(X\gt b)\)7
Número de individuosMultiplicas la probabilidad por el total, \(N\cdot P\)5 y 12
Comparar dos valoresComparas sus \(z\), no los valores6
Hallar \(x\)Buscas \(p\) en la tabla y haces \(x=\mu+z\sigma\)8, 10 y 12
Hallar \(\mu\) o \(\sigma\)Tipificas con la incógnita y despejas9
Aproximar una binomial\(N\left(np,\ \sqrt{npq}\right)\) con corrección de continuidad11
💡 Si te dan la varianza. En \(N(\mu,\sigma)\) el segundo número es la desviación típica. Si el enunciado da la varianza \(\sigma^2\), calcula antes \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\): con varianza \(144\), \(\sigma=12\). Repasa la desviación estándar y varianza si lo necesitas.

La aproximación de la distribución binomial por la normal, con su corrección de continuidad, está explicada con detalle en el artículo de la distribución normal.

Resumen de lo más importante

ConceptoQué recordar
Tipificación\(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\), con \(z\) redondeado a dos decimales
Acumulada\(P(X\le a)=\Phi\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)\)
Complementario\(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\)
Simetría\(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\)
Entre dos valores\(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\)
Problema inverso\(x=\mu+z\sigma\)
Valores críticos\(z=1{,}645\) para el 90 %, \(z=1{,}96\) para el 95 % y \(z=2{,}575\) para el 99 %

Para tener más fórmulas, consulta el formulario de fórmulas de estadística.

Errores frecuentes

⚠️ Errores que veo a menudo:
  • No tipificar, o dividir entre la varianza. La tabla es solo de la \(N(0,1)\), así que no se puede buscar \(1000\) en ella: primero se calcula \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\). Con \(\sigma=150\) se divide entre \(150\), no entre \(150^2=22500\).
  • Olvidar el complementario. Para \(P(Z\ge 1{,}2)\) hay que calcular \(1-\Phi(1{,}2)\), que da \(0{,}1151\). El valor \(0{,}8849\) es \(P(Z\le 1{,}2)\).
  • Buscar un \(z\) negativo en la tabla. No está. Se usa la simetría:\[\Phi(-1{,}33)=1-\Phi(1{,}33)\]\[=1-0{,}9082=0{,}0918\]
  • Redondear \(z\) a un decimal. Si \(z=-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}33\), no lo cambies por \(-1{,}3\): \(\Phi(1{,}33)=0{,}9082\), pero \(\Phi(1{,}3)=0{,}9032\).
  • No cambiar el signo en un problema inverso. Si \(P(X\le x)=0{,}15\), el área es menor que \(0{,}5\) y \(z=-1{,}04\). En una \(N(52,\ 6)\), \(x=52-1{,}04\cdot 6=45{,}76\), y no \(52+1{,}04\cdot 6=58{,}24\).

🧮 Calculadora de ejercicios de distribución normal

Tienes tres pestañas. En «Probabilidad» escribes los datos de tu ejercicio, la media, la desviación típica y el valor, y calculo \(P(X\le a)\), \(P(X\ge a)\) o \(P(a\le X\le b)\): tipifico, leo la tabla y te explico cada paso. En «Valor x» haces el camino de vuelta, con una probabilidad o con un intervalo central. Y en «Practicar» te genero ejercicios nuevos: los resuelves con tu tabla, compruebas tu resultado y, si quieres, ves la solución paso a paso.

Escribe los datos de tu ejercicio. Tipifico el valor, lo busco en la tabla N(0,1) y te explico cada paso.

Números con coma o con punto y hasta 3 decimales. La desviación típica tiene que ser mayor que 0.

🌍 Dónde aparecen los ejercicios de distribución normal

🎓 Exámenes y pruebas de accesoLos problemas de distribución normal son un clásico de los exámenes de Bachillerato y de las pruebas de acceso a la universidad. Suelen mezclar un apartado de probabilidad con otro al revés, como los ejercicios 8 y 12.
🏭 Control de calidadUna fábrica rechaza las piezas que se salen de la tolerancia. Con la tipificación se calcula qué porcentaje se rechaza, como en el ejercicio 7.
🎯 Notas de corte y percentilesPara saber qué nota hay que sacar para estar entre el 15 % mejor, o en qué percentil queda un resultado, se usa el problema inverso, como en el ejercicio 8.
📊 Inferencia estadísticaLos intervalos de confianza usan los valores críticos \(1{,}645\), \(1{,}96\) y \(2{,}575\). Los verás en la inferencia estadística.

🧠 Flashcards para memorizar

Pulsa cada tarjeta para comprobar la respuesta.

TipificarPasar de \(X\sim N(\mu,\sigma)\) a \(Z\sim N(0,\ 1)\) con \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\). Se redondea \(z\) a dos decimales para leer la tabla.
Leer la tablaLa tabla da \(\Phi(z)=P(Z\le z)\). La fila es la parte entera y el primer decimal de \(z\), y la columna, el segundo decimal.
Más de y menos deEn una variable continua \(P(X=a)=0\), así que \(\ge\) y \(\gt\) dan lo mismo. Para «más de», \(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\).
z negativoNo está en la tabla. Se usa la simetría: \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\).
Entre dos valores\(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\): se tipifican los dos extremos y se resta el mayor menos el menor.
Problema inversoSe busca la probabilidad en el cuerpo de la tabla, se lee \(z\) y se calcula \(x=\mu+z\sigma\). Si la probabilidad es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo.

⭐ Ejercicios de distribución normal resueltos

Te recomiendo que intentes resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Así es como de verdad se aprende. Son 12, ordenados de menos a más difícil. Usa la tabla N(0,1) y, cuando termines, comprueba tus resultados con la calculadora.

Nivel 1: tipificar y leer la tabla

EJERCICIO 1Tipificar y destipificar
📝 EnunciadoEl tiempo, en minutos, que tarda un alumno en llegar al instituto sigue una \(N(24,\ 3)\). a) Tipifica los valores 15, 24 y 27,6 e interpreta cada resultado. b) ¿Qué tiempo corresponde a \(z=-1{,}5\)?
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Aplico \(z=\dfrac{x-24}{3}\) a cada valor:\[z=\frac{15-24}{3}=-3\]\[z=\frac{24-24}{3}=0\]\[z=\frac{27{,}6-24}{3}=1{,}2\]
  2. Interpretación. Quince minutos está a 3 desviaciones típicas por debajo de la media. Veinticuatro es la propia media. Y \(27{,}6\) está a 1,2 desviaciones por encima.
  3. Apartado b. Deshago la tipificación:\[x=\mu+z\sigma=24+(-1{,}5)\cdot 3=19{,}5\]
✅ Resultado: a) \(z=-3\), \(z=0\) y \(z=1{,}2\). b) \(x=19{,}5\) minutos.
EJERCICIO 2Leer la tabla N(0,1)
📝 EnunciadoCon la tabla de la \(N(0,1)\), calcula: a) \(P(Z\le 0{,}73)\). b) \(P(Z\ge 1{,}64)\). c) \(P(Z\le -0{,}38)\). d) \(P(-1{,}2\le Z\le 0{,}45)\).
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Está directo en la tabla, fila \(0{,}7\) y columna \(0{,}03\):\[P(Z\le 0{,}73)=\Phi(0{,}73)=0{,}7673\]
  2. Apartado b. Es el complementario:\[P(Z\ge 1{,}64)=1-\Phi(1{,}64)\]\[=1-0{,}9495=0{,}0505\]
  3. Apartado c. Por simetría:\[P(Z\le -0{,}38)=1-\Phi(0{,}38)\]\[=1-0{,}6480=0{,}3520\]
  4. Apartado d. Resto dos acumuladas. \(\Phi(0{,}45)=0{,}6736\) y \(\Phi(-1{,}2)=1-0{,}8849=0{,}1151\):\[0{,}6736-0{,}1151=0{,}5585\]
✅ Resultado: a) \(0{,}7673\). b) \(0{,}0505\). c) \(0{,}3520\). d) \(0{,}5585\).

Nivel 2: problemas con contexto

EJERCICIO 3Tiempo de espera
📝 EnunciadoEl tiempo de espera en urgencias, en minutos, sigue una \(N(18,\ 4)\). Calcula la probabilidad de esperar a) menos de 10 minutos y b) más de 25 minutos.
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Tipifico:\[z=\frac{10-18}{4}=-2\]Por simetría:\[P(X\lt 10)=P(Z\lt -2)=1-\Phi(2)\]\[=1-0{,}9772=0{,}0228\]
  2. Apartado b. Tipifico:\[z=\frac{25-18}{4}=1{,}75\]Es el complementario:\[P(X\gt 25)=1-\Phi(1{,}75)=1-0{,}9599\]\[=0{,}0401\]
✅ Resultado: a) \(0{,}0228\), el 2,28 %. b) \(0{,}0401\), el 4,01 %.
EJERCICIO 4Entre dos valores, con la varianza
📝 EnunciadoEl peso, en gramos, de las manzanas de un cajón sigue una normal de media \(150\) y varianza \(144\). Calcula la probabilidad de que una manzana pese entre 135 y 171 g.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El enunciado da la varianza, así que \(\sigma=\sqrt{144}=12\). Entonces \(X\sim N(150,\ 12)\).
  2. Paso 2. Tipifico los dos extremos:\[z_1=\frac{135-150}{12}=-1{,}25\]\[z_2=\frac{171-150}{12}=1{,}75\]
  3. Paso 3. Resto las dos acumuladas. \(\Phi(1{,}75)=0{,}9599\) y, por simetría, \(\Phi(-1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056\):\[0{,}9599-0{,}1056=0{,}8543\]
✅ Resultado: \(P(135\le X\le 171)=0{,}8543\), el 85,43 % de las manzanas.
EJERCICIO 5Número de individuos
📝 EnunciadoEn una empresa de 800 trabajadores, el sueldo mensual, en euros, sigue una \(N(1600,\ 250)\). ¿Cuántos trabajadores cobran a) más de 2000 euros? b) entre 1300 y 2000 euros?
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Tipifico:\[z=\frac{2000-1600}{250}=1{,}6\]Es el complementario:\[P(X\gt 2000)=1-\Phi(1{,}6)=1-0{,}9452\]\[=0{,}0548\]Para saber cuántos son, multiplico por el total:\[800\cdot 0{,}0548=43{,}84\]
  2. Apartado b. Tipifico los dos extremos:\[z_1=\frac{1300-1600}{250}=-1{,}2\]\[z_2=\frac{2000-1600}{250}=1{,}6\]Resto las acumuladas, con \(\Phi(-1{,}2)=1-0{,}8849=0{,}1151\):\[0{,}9452-0{,}1151=0{,}8301\]Son \(800\cdot 0{,}8301=664{,}08\) trabajadores.
✅ Resultado: a) Unos 44 trabajadores. b) Unos 664 trabajadores.
EJERCICIO 6Comparar con z
📝 EnunciadoMarta sacó 78 en Matemáticas, donde las notas siguen una \(N(60,\ 10)\), y 63 en Física, donde siguen una \(N(52,\ 6)\). ¿En qué asignatura está mejor situada respecto a su grupo? ¿Qué porcentaje de alumnos sacó menos nota que ella en cada una?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Los valores no se pueden comparar directamente, porque las dos distribuciones son distintas. Tipifico los dos:\[z_M=\frac{78-60}{10}=1{,}8\]\[z_F=\frac{63-52}{6}=\frac{11}{6}\approx 1{,}83\]
  2. Paso 2. Está mejor situada donde \(z\) es mayor, es decir, en Física.
  3. Paso 3. El porcentaje que sacó menos nota es \(P(Z\le z)\):\[\Phi(1{,}8)=0{,}9641\qquad \Phi(1{,}83)=0{,}9664\]
✅ Resultado: En Física, con \(z=1{,}83\) frente a \(1{,}8\). Sacó menos nota el 96,64 % de su grupo en Física y el 96,41 % en Matemáticas.
EJERCICIO 7Fuera de los límites
📝 EnunciadoUna máquina llena bricks de leche con un contenido que sigue una \(N(1000,\ 6)\), en mililitros. Se rechaza un brick si tiene menos de 988 ml o más de 1015 ml. ¿Qué porcentaje de bricks se rechaza?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Tipifico los dos límites:\[z_1=\frac{988-1000}{6}=-2\]\[z_2=\frac{1015-1000}{6}=2{,}5\]
  2. Paso 2. Se rechaza si \(Z\lt -2\) o \(Z\gt 2{,}5\). Calculo cada cola:\[P(Z\lt -2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772\]\[=0{,}0228\]\[P(Z\gt 2{,}5)=1-\Phi(2{,}5)=1-0{,}9938\]\[=0{,}0062\]
  3. Paso 3. Sumo las dos colas:\[0{,}0228+0{,}0062=0{,}0290\]
✅ Resultado: Se rechaza el \(0{,}0290\), es decir, el 2,9 % de los bricks.

Nivel 3: al revés

EJERCICIO 8Nota de corte
📝 EnunciadoLas notas de una prueba siguen una \(N(6{,}5;\ 1{,}5)\). Se admite al 15 % de los candidatos con mejor nota. ¿Cuál es la nota mínima para entrar?
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Busco \(x\) con \(P(X\ge x)=0{,}15\), que es lo mismo que \(P(X\le x)=0{,}85\).
  2. Paso 2. Busco \(0{,}85\) en el cuerpo de la tabla. No está exacto. Los más próximos son \(0{,}8485\), en \(z=1{,}03\), y \(0{,}8508\), en \(z=1{,}04\). Me quedo con el más cercano, así que \(z=1{,}04\).
  3. Paso 3. Deshago la tipificación:\[x=\mu+z\sigma=6{,}5+1{,}04\cdot 1{,}5\]\[=8{,}06\]
✅ Resultado: La nota mínima es \(8{,}06\).
EJERCICIO 9Hallar la media y la desviación típica
📝 EnunciadoUna variable \(X\sim N(\mu,\ \sigma)\) cumple \(P(X\le 30)=0{,}1587\) y \(P(X\le 48)=0{,}9772\). Calcula \(\mu\) y \(\sigma\).
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. Como \(0{,}1587\) es menor que \(0{,}5\), el \(z\) de 30 es negativo. Busco \(1-0{,}1587=0{,}8413\) en la tabla: corresponde a \(z=1\). Entonces el \(z\) de 30 es \(-1\). Para \(0{,}9772\), la tabla da \(z=2\).
  2. Paso 2. Tipifico con las incógnitas y planteo un sistema:\[\frac{30-\mu}{\sigma}=-1\qquad \frac{48-\mu}{\sigma}=2\]Es decir, \(30-\mu=-\sigma\) y \(48-\mu=2\sigma\).
  3. Paso 3. Resto la primera ecuación a la segunda:\[18=3\sigma\]\[\sigma=6\]Entonces \(\mu=30+6=36\).
✅ Resultado: \(\mu=36\) y \(\sigma=6\). Comprobación: \(\dfrac{48-36}{6}=2\).
EJERCICIO 10Intervalos centrales del 90 % y del 99 %
📝 EnunciadoLa altura de las plantas de un vivero sigue una \(N(55,\ 4)\), en centímetros. Halla el intervalo centrado en la media que contiene a) al 90 % y b) al 99 % de las plantas.
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Fuera del intervalo queda el 10 %, el 5 % en cada cola. Busco \(z\) con \(\Phi(z)=0{,}95\). Queda justo en medio de \(0{,}9495\) (\(z=1{,}64\)) y \(0{,}9505\) (\(z=1{,}65\)), así que tomo la media: \(z=1{,}645\). Entonces \(z\sigma=1{,}645\cdot 4=6{,}58\) y\[55-6{,}58=48{,}42\qquad 55+6{,}58=61{,}58\]
  2. Apartado b. Fuera queda el 1 %, el 0,5 % en cada cola. Busco \(\Phi(z)=0{,}995\), que queda en medio de \(0{,}9949\) (\(z=2{,}57\)) y \(0{,}9951\) (\(z=2{,}58\)): \(z=2{,}575\). Entonces \(z\sigma=2{,}575\cdot 4=10{,}3\) y\[55-10{,}3=44{,}7\qquad 55+10{,}3=65{,}3\]
✅ Resultado: a) El 90 % mide entre \(48{,}42\) y \(61{,}58\) cm. b) El 99 % mide entre \(44{,}7\) y \(65{,}3\) cm.

Nivel 4: tipo examen

EJERCICIO 11Aproximar una binomial
📝 EnunciadoUn examen tipo test tiene 80 preguntas con 4 opciones cada una. Un alumno responde todas al azar. Calcula, con la aproximación normal, la probabilidad de que acierte 25 o más.
Ver solución paso a paso
  1. Paso 1. El número de aciertos es \(X\sim B(80;\ 0{,}25)\). Compruebo las condiciones: \(np=80\cdot 0{,}25=20\ge 5\) y \(nq=80\cdot 0{,}75=60\ge 5\).
  2. Paso 2. Aproximo por una normal \(Y\sim N(\mu,\sigma)\):\[\mu=np=20\]\[\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{15}\approx 3{,}873\]
  3. Paso 3. Corrección de continuidad: \(P(X\ge 25)\approx P(Y\ge 24{,}5)\).
  4. Paso 4. Tipifico y uso el complementario:\[z=\frac{24{,}5-20}{3{,}873}\approx 1{,}16\]\[P(Z\ge 1{,}16)=1-0{,}8770=0{,}1230\]
✅ Resultado: \(P(X\ge 25)\approx 0{,}1230\). El valor exacto con la distribución binomial es \(0{,}1239\).
EJERCICIO 12Problema tipo examen
📝 EnunciadoLa velocidad de los coches en un tramo de autovía sigue una \(N(112,\ 15)\), en km/h. a) Calcula la probabilidad de que un coche supere 120 km/h. b) Si pasan 2000 coches, ¿cuántos van a más de 140 km/h? c) ¿Qué velocidad no supera el 95 % de los coches?
Ver solución paso a paso
  1. Apartado a. Tipifico y redondeo:\[z=\frac{120-112}{15}=\frac{8}{15}\approx 0{,}53\]\[P(X\gt 120)=1-\Phi(0{,}53)=1-0{,}7019\]\[=0{,}2981\]
  2. Apartado b. Tipifico:\[z=\frac{140-112}{15}=\frac{28}{15}\approx 1{,}87\]\[P(X\gt 140)=1-\Phi(1{,}87)=1-0{,}9693\]\[=0{,}0307\]Multiplico por el total:\[2000\cdot 0{,}0307=61{,}4\]
  3. Apartado c. Busco \(x\) con \(P(X\le x)=0{,}95\). Queda justo en medio de \(0{,}9495\) y \(0{,}9505\), así que \(z=1{,}645\):\[x=\mu+z\sigma=112+1{,}645\cdot 15\]\[=136{,}675\]
✅ Resultado: a) \(0{,}2981\). b) Unos 61 coches. c) Unos \(136{,}7\) km/h.

❓ Preguntas frecuentes sobre los ejercicios de distribución normal

🤔 ¿Cómo se resuelve un ejercicio de distribución normal paso a paso?
Se escribe la probabilidad con \(X\), se tipifica con \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\) redondeando a dos decimales, se busca \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) en la tabla N(0,1) y se ajusta con el complementario, la simetría o la resta. Por ejemplo, en una \(N(65,\ 10)\), \(P(X\le 77)=\Phi(1{,}2)=0{,}8849\).
🤔 ¿Qué significa tipificar una variable normal y por qué hay que hacerlo?
Es pasar de \(X\sim N(\mu,\sigma)\) a \(Z\sim N(0,\ 1)\) con \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\). Hay que hacerlo porque la tabla solo existe para la \(N(0,1)\). Restar la media centra la campana en 0 y dividir entre la desviación típica cambia la escala, y las probabilidades no cambian.
🤔 ¿Cómo se calcula la probabilidad de «mayor que», «menor que» y «entre dos valores»?
«Menor que» se lee directo: \(P(Z\le a)=\Phi(a)\). «Mayor que» es el complementario: \(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\). «Entre dos valores» es una resta: \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\). En una variable continua da igual que la desigualdad sea estricta o no, porque \(P(X=a)=0\).
🤔 ¿Cómo se resuelve un ejercicio de distribución normal al revés?
Se busca la probabilidad en el cuerpo de la tabla, se lee \(z\) y se calcula \(x=\mu+z\sigma\). Si la probabilidad es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo: se busca \(1-p\) y se cambia el signo. Por ejemplo, en una \(N(52,\ 6)\), el valor que deja por debajo el 15 % es \(52-1{,}04\cdot 6=45{,}76\).
🤔 ¿Cómo se calcula cuántos individuos hay en un intervalo?
Se calcula la probabilidad del intervalo y se multiplica por el total de individuos. Por ejemplo, si \(P=0{,}0548\) y hay 800 trabajadores, hay \(800\cdot 0{,}0548=43{,}84\), es decir, unos 44.
🤔 ¿Por qué mi resultado es distinto al de mi calculadora o al de mi libro?
La tabla se lee con \(z\) redondeado a dos decimales y da la probabilidad con cuatro, así que puede diferir en la tercera o cuarta cifra decimal. En el ejemplo 2, con \(z=-\dfrac{4}{3}\) exacto saldría \(0{,}9088\), y con la tabla \(0{,}9082\). En los exámenes se da por buena la lectura de la tabla. Comprueba también si tu tabla da \(P(Z\le z)\) o \(P(0\le Z\le z)\): si \(z=0\) da \(0{,}0000\), hay que sumar \(0{,}5\).
📚 Resumen final
  • Un ejercicio de distribución normal se resuelve en 4 pasos: escribir la probabilidad con \(X\), tipificar, leer \(\Phi(z)\) en la tabla y ajustar el resultado.
  • Tipificar es \(z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}\), con \(z\) redondeado a dos decimales.
  • Casos: \(P(Z\ge a)=1-\Phi(a)\), \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\) y \(P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\).
  • Al revés: se busca la probabilidad en la tabla y \(x=\mu+z\sigma\). Si es menor que \(0{,}5\), \(z\) es negativo.
  • Para saber cuántos individuos hay, se multiplica la probabilidad por el total. Si te dan la varianza, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\).

Conclusión

Recuerda que tienes que hacer: tipifica la variable, lee la tabla N(0,1) y aplica el complementario, la simetría o la resta según lo que te pidan. Si te dan la probabilidad, haz el camino de vuelta deshaciendo la tipificación. Practica mucho. Puedes generar ejercicios nuevos en la calculadora y comprobar tus resultados.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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