🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué es el límite de una función? Definición y significado
- Cómo se lee un límite y qué muestra su gráfica
- Límites laterales: por la izquierda y por la derecha
- Tipos de límites de funciones con ejemplos
- Cómo calcular el límite de una función paso a paso
- Propiedades de los límites y reglas de operaciones
- Indeterminaciones en límites de una función
- Límites cuando x tiende a infinito: reglas y ejemplos
- Límites infinitos y asíntotas
- Relación entre límite y continuidad de una función
- ⭐ Ejercicios de límites de funciones resueltos
¿Qué es el límite de una función y cómo se calcula? Un límite describe el valor al que se aproxima una función cuando la variable se acerca a un punto o crece indefinidamente. En esta guía aprenderás a interpretar la notación, distinguir los límites laterales, finitos e infinitos, resolver indeterminaciones y reconocer asíntotas. Incluye gráficas y ejercicios resueltos de dificultad creciente para Bachillerato.
¿Qué es el límite de una función? Definición y significado
El límite de una función estudia su comportamiento cerca de un valor de \(x\), no necesariamente en ese valor. Si \(x\) toma números cada vez más próximos a \(a\) y \(f(x)\) se aproxima a un mismo número \(L\), escribimos:
\[\lim_{x\to a}f(x)=L\]
Por ejemplo, para \(f(x)=2x+1\), cuando \(x\) está muy cerca de 3, el resultado se acerca a 7. Por eso \(\lim_{x\to3}(2x+1)=7\). Si la función es continua en ese punto, basta con sustituir \(x=3\).
💡 Idea fundamental: «acercarse a» no es lo mismo que «ser igual a». Puede existir \(\lim_{x\to a}f(x)\) aunque \(f(a)\) no esté definida. Esta diferencia es esencial para estudiar la continuidad de una función.
Si quieres una definición rigurosa, para un límite finito \(L\) en un punto \(a\) se exige que, dado cualquier margen de error \(\varepsilon>0\), exista una distancia \(\delta>0\) tal que los valores de la función queden a menos de \(\varepsilon\) de \(L\) siempre que \(0<|x-a|<\delta\) y \(x\) pertenezca al dominio. En Bachillerato se empieza por la interpretación intuitiva y gráfica.
Cómo se lee un límite y qué muestra su gráfica
La expresión \(\lim_{x\to1}f(x)=2\) se lee «el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 1 es 2». La flecha señala a qué valor se acerca x; el número situado después del igual indica a qué altura se aproxima la gráfica.
Ejemplo 1. El límite puede ser diferente de \(f(a)\)
Considera \(f(x)=x+1\) si \(x\ne1\), y \(f(1)=3\). Los puntos próximos a 1 siguen la recta \(y=x+1\), así que se acercan a 2. Sin embargo, el valor definido exactamente en \(x=1\) es 3.
\[\lim_{x\to1}f(x)=2\qquad\text{y}\qquad f(1)=3\]
El círculo vacío señala el «agujero» de la gráfica y el punto lleno señala el valor real de la función en ese punto.
Límites laterales: por la izquierda y por la derecha
Para saber si existe un límite en un punto interior del dominio, comprobamos qué sucede al acercarnos desde los dos lados:
| Notación | Significado | Cómo nos acercamos |
|---|---|---|
| \(\lim_{x\to a^-}f(x)\) | Límite lateral izquierdo | Valores de \(x\) menores que \(a\) |
| \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) | Límite lateral derecho | Valores de \(x\) mayores que \(a\) |
\[\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L\]
Esta igualdad se refiere a límites finitos por ambos lados; si son distintos, no existe un límite bilateral. Observa el salto de la siguiente gráfica:
Ejemplo 2. Una función definida a trozos
Sea \(f(x)=x+1\) cuando \(x<1\) y \(f(x)=x+3\) cuando \(x\ge1\). Al acercarnos a 1 por la izquierda obtenemos 2; por la derecha, 4.
\[\lim_{x\to1^-}f(x)=2,\qquad\lim_{x\to1^+}f(x)=4\]
Como 2 y 4 no coinciden, el límite en \(x=1\) no existe. Puedes ampliar estos casos en funciones definidas a trozos.
Tipos de límites de funciones con ejemplos
Un límite puede describir lo que ocurre cerca de un número o cuando \(x\) se aleja indefinidamente. Además, el resultado puede aproximarse a un número real o crecer sin límite.
| Tipo | Ejemplo | Interpretación |
|---|---|---|
| Finito en un punto | \(\lim_{x\to2}x^2=4\) | La función se acerca a 4 |
| Infinito en un punto | \(\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty\) | Los valores crecen sin cota al acercarnos por la derecha |
| Finito en el infinito | \(\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0\) | La gráfica se acerca al eje horizontal |
| Infinito en el infinito | \(\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\) | La función crece sin límite |
Importante: escribir \(+\infty\) o \(-\infty\) como resultado describe una tendencia sin cota; no es un número real finito. Para profundizar, consulta qué significa el infinito.
Cómo calcular el límite de una función paso a paso
Antes de usar técnicas complicadas, aplica este método:
- Identifica si \(x\) tiende a un número o a \(\pm\infty\).
- Sustituye directamente cuando se trate de una función continua en el punto o las reglas de límites lo permitan.
- Comprueba el resultado. Si obtienes un número determinado, ya has terminado.
- Si aparece una indeterminación como \(0/0\), transforma la expresión: factoriza, simplifica o racionaliza cuando proceda.
- Si el denominador se acerca a cero sin que el numerador lo haga, estudia los signos y los dos límites laterales.
- Si \(x\to\pm\infty\), compara los términos dominantes y comprueba el signo cuando corresponda.
Ejemplo 3. Sustitución directa
Para \(f(x)=x^2-3x+5\) en \(x=2\), los polinomios son continuos y podemos sustituir:
\[\lim_{x\to2}(x^2-3x+5)=4-6+5=3\]
Si necesitas repasar qué significa evaluar una expresión, consulta valor numérico de un polinomio.
Propiedades de los límites y reglas de operaciones
Si \(\lim f(x)=L\) y \(\lim g(x)=M\) son límites reales finitos, podemos utilizar las siguientes reglas siempre que las operaciones estén definidas:
| Operación | Regla |
|---|---|
| Suma | \(\lim(f+g)=L+M\) |
| Resta | \(\lim(f-g)=L-M\) |
| Producto | \(\lim(fg)=LM\) |
| Cociente | \(\lim\frac fg=\frac LM\), siempre que \(M\ne0\) |
| Potencia entera positiva | \(\lim f^n=L^n\) |
Estas reglas evitan repetir cálculos y permiten descomponer expresiones más largas. Tienes un repaso más detallado en propiedades de los límites.
Indeterminaciones en límites de una función
Una indeterminación es una forma que no permite decidir el límite usando únicamente la sustitución. No es un resultado: indica que necesitas seguir trabajando.
| Forma | Técnica habitual | Observación |
|---|---|---|
| \(0/0\) | Factorización o racionalización | Puede dar un número, infinito o no existir |
| \(\infty/\infty\) | Comparar términos dominantes | Frecuente en cocientes de polinomios |
| \(\infty-\infty\) | Denominador común o conjugado | Dos expresiones grandes pueden compensarse |
| \(0\cdot\infty\) | Reescribir como cociente | El producto no se puede decidir directamente |
| \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\) | Transformaciones y logaritmos | Se estudian en un nivel más avanzado |
Indeterminación \(0/0\): factorizar y simplificar
El límite \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\) da \(0/0\) al sustituir, pero \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Para \(x\ne2\), podemos simplificar:
\[\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\]
Cancelar el factor es válido en los puntos próximos a 2, que son los relevantes para el límite; no significa que la función original esté definida en 2. Tienes más casos en indeterminación 0/0 y factorización de polinomios.
Indeterminación \(0/0\) con raíces: racionalizar
Si aparece una diferencia de raíces, multiplicar por el conjugado suele eliminar la indeterminación:
\[\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}=\lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{x+4}+2}=\frac14\]
Repasa la técnica en racionalización de radicales.
Límites cuando x tiende a infinito: reglas y ejemplos
Calcular \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) significa estudiar qué sucede cuando \(x\) toma valores positivos cada vez mayores. Para \(x\to-\infty\), observamos valores negativos de magnitud creciente.
Cocientes de polinomios
Para \(x\to+\infty\) o \(-\infty\) en un cociente de polinomios con denominador no nulo para valores suficientemente grandes, puedes comparar sus grados:
| Comparación | Resultado habitual | Ejemplo |
|---|---|---|
| Grado del numerador menor | 0 | \(\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0\) |
| Grados iguales | Cociente de coeficientes principales | \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-5}=\frac32\) |
| Grado del numerador mayor | Crece en magnitud sin límite; estudiar signo | \(\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x^2+1}=+\infty\) |
Estas reglas se entienden dividiendo numerador y denominador por la potencia de \(x\) de mayor grado del denominador; por ejemplo:
\[\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+2/x}{1+1/x^2}=3\]
Indeterminación \(\infty-\infty\)
Si tienes \(\sqrt{x^2+3x}-x\) cuando \(x\to+\infty\), no puedes restar «infinito menos infinito». Multiplica por el conjugado: \(\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\), divide entre \(x\) (positivo para \(x\) grande) y obtienes el límite \(\frac32\). Puedes ampliar este procedimiento en indeterminación infinito menos infinito.
Límites infinitos y asíntotas
Cuando una función crece hacia \(+\infty\) o desciende hacia \(-\infty\) al acercarse a un valor \(a\) desde algún lado, la recta \(x=a\) es una asíntota vertical por ese lado. Por ejemplo, \(f(x)=\frac1{x-1}\):
\[\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty,\qquad\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty\]
Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\) es finito, la recta \(y=L\) es una asíntota horizontal en ese extremo. Por ejemplo, \(\lim_{x\to+\infty}(2+1/x)=2\), así que \(y=2\) es asíntota horizontal hacia la derecha.
⚠️ No confundas \(1/0\) con \(0/0\). En \(\frac1{x-1}\), el numerador no se anula al acercarse a 1. El signo del denominador decide si la función va a \(-\infty\) o a \(+\infty\). No existe un único límite bilateral.
Relación entre límite y continuidad de una función
Una función es continua en \(x=a\) si se cumplen estas tres condiciones:
- Existe \(f(a)\).
- Existe el límite finito \(\lim_{x\to a}f(x)\).
- Ambos coinciden: \(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
\[f\text{ continua en }a\implies \lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]
En la gráfica anterior con un agujero y un punto en otra altura, el límite existe, pero la función no es continua: se trata de una discontinuidad evitable. Cuando los límites laterales son diferentes, tenemos una discontinuidad de salto. Puedes revisar tipos de discontinuidades y dominio de una función.
Errores frecuentes al calcular límites
⚠️ Seis errores que conviene evitar:
- Confundir límite con valor de la función: \(\lim_{x\to a}f(x)\) puede ser diferente de \(f(a)\).
- Dar \(0/0\) como respuesta: es una indeterminación, no un valor.
- Olvidar los límites laterales: un salto puede impedir que exista el límite bilateral.
- Escribir \(+\infty\) y \(-\infty\) como si fueran el mismo límite: representan comportamientos opuestos.
- Cancelar un factor donde vale cero: la simplificación se usa para valores cercanos, no para afirmar que la función original está definida allí.
- Aplicar reglas de cocientes con denominador tendente a cero: la regla del cociente para límites finitos exige que el límite del denominador no sea cero.
⭐ Ejercicios de límites de funciones resueltos
Practica en este orden, desde sustitución directa hasta indeterminaciones más exigentes. Intenta resolver cada problema antes de desplegar la solución y comprueba los pasos.
EJERCICIO 1Sustitución directa
📝 Enunciado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to3}(x^2-2x+1)\).
Ver solución paso a paso
- La función es un polinomio, por tanto es continua en 3.
- Sustituye \(x=3\): \(3^2-2\cdot3+1=9-6+1\).
- Opera para obtener 4.
✅ Resultado: \(\boxed{4}\).
EJERCICIO 2Indeterminación 0/0 por factorización
📝 Enunciado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
Ver solución paso a paso
- Al sustituir aparece \(0/0\).
- Factoriza: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
- Para \(x\ne2\), simplifica el factor común.
- Calcula \(\lim_{x\to2}(x+2)=4\).
✅ Resultado: \(\boxed{4}\).
EJERCICIO 3Límites laterales de una función a trozos
📝 Enunciado
Calcula el límite cuando \(x\to1\) de \(f(x)=x+1\) si \(x<1\) y \(f(x)=x+3\) si \(x\ge1\).
Ver solución paso a paso
- Por la izquierda: \(\lim_{x\to1^-}(x+1)=2\).
- Por la derecha: \(\lim_{x\to1^+}(x+3)=4\).
- Los límites laterales no coinciden.
✅ Resultado: el límite bilateral no existe (izquierdo 2 y derecho 4).
EJERCICIO 4Racionalización con una raíz cuadrada
📝 Enunciado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}\).
Ver solución paso a paso
- La sustitución directa da \(0/0\).
- Multiplica por el conjugado \(\sqrt{x+9}+3\).
- Queda \(\frac{x+9-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\frac1{\sqrt{x+9}+3}\) para \(x\ne0\).
- Sustituye \(x=0\) en la expresión simplificada: \(1/(3+3)\).
✅ Resultado: \(\boxed{\frac16}\).
EJERCICIO 5Límite de un cociente cuando x tiende a infinito
📝 Enunciado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-2x+1}{x^2+5}\).
Ver solución paso a paso
- Es una forma \(\infty/\infty\).
- Divide numerador y denominador entre \(x^2\).
- Obtienes \(\frac{3-2/x+1/x^2}{1+5/x^2}\).
- Los términos con \(1/x\) o \(1/x^2\) tienden a cero.
✅ Resultado: \(\boxed{3}\).
EJERCICIO 6Indeterminación infinito menos infinito
📝 Enunciado
Calcula \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{x^2+3x}-x\bigr)\).
Ver solución paso a paso
- Al sustituir formalmente aparece \(\infty-\infty\).
- Multiplica y divide por \(\sqrt{x^2+3x}+x\).
- Simplifica: \(\frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\).
- Como \(x>0\) cuando \(x\to+\infty\), divide entre \(x\): \(\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}\).
- Cuando \(x\to+\infty\), \(3/x\to0\).
✅ Resultado: \(\boxed{\frac32}\).
Si quieres practicar más, visita ejercicios de límites, donde encontrarás material adicional.
❓ Preguntas frecuentes sobre límites de una función
Estas son las dudas más importantes que conviene dominar antes de estudiar continuidad y derivadas.
¿Qué es el límite de una función?
Es el valor al que se aproximan los valores de una función cuando la variable se acerca a un punto o crece indefinidamente. El valor exacto de la función en ese punto puede ser distinto o no estar definido.
¿Cómo se calcula un límite de una función?
Primero se intenta la sustitución directa si está justificada. Si aparece una indeterminación, se puede factorizar, racionalizar o estudiar los términos dominantes, según el tipo de expresión.
¿Cuándo existe el límite de una función en un punto?
Si el punto puede abordarse desde ambos lados, existe un límite finito bilateral cuando los límites laterales izquierdo y derecho existen y son iguales.
¿Qué significa la indeterminación 0/0?
Significa que la sustitución directa no permite determinar el límite. Se necesita transformar la expresión o utilizar otra técnica; 0/0 no es el resultado.
¿Cuál es la diferencia entre límite y continuidad?
El límite estudia la tendencia de la función cerca de un punto. La continuidad exige, además, que el valor de la función en ese punto exista y coincida con ese límite.
¿Qué significa que un límite sea infinito?
Significa que los valores de la función crecen o disminuyen sin cota al acercarse a un punto o al avanzar hacia el infinito. No representa un número real finito.
📚 Resumen final: un límite describe el comportamiento de la función cerca de un punto o en el infinito; los límites laterales deben coincidir para que exista un límite finito bilateral; \(0/0\) y \(\infty/\infty\) son indeterminaciones que requieren transformar la expresión; y la continuidad exige que el límite y el valor de la función coincidan.
Conclusión
Para entender los límites de una función, empieza por imaginar el movimiento sobre la gráfica: ¿a qué valor se acerca \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima al punto? Después analiza ambos lados y elige la técnica algebraica adecuada.
Sigue aprendiendo
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