Integrales: fórmulas y ejercicios resueltos paso a paso 📈

hace 4 días · Actualizado hace 4 días

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es una integral?
Partes de una integral: símbolo, integrando y diferencial
Integral definida e indefinida: diferencias fundamentales
Fórmulas básicas de integrales inmediatas
Reglas para resolver integrales paso a paso
Métodos de integración: cómo saber cuál utilizar
Cómo calcular una integral definida con la regla de Barrow
Integral y área bajo la curva: cuidado con los signos
¿Para qué sirven las integrales en la vida real?
⭐ Ejercicios de integrales resueltos de menor a mayor dificultad
Resumen final: aprende a integrar con método

¿Qué son las integrales y cómo se resuelven? Una integral permite encontrar primitivas de una función. En esta guía aprenderás a distinguir las integrales definidas e indefinidas, aplicar las fórmulas básicas, elegir entre sustitución e integración por partes y comprobar el resultado.

¿Qué es una integral?

Integrar tiene dos interpretaciones relacionadas. La primera es deshacer una derivada: dada una función \(f(x)\), buscamos otra función \(F(x)\) cuya derivada sea \(f(x)\). La segunda es medir una acumulación, por ejemplo, el cambio total de posición a partir de una velocidad.

Para entender la primera idea, piensa que la derivada de \(x^3\) es \(3x^2\). Por tanto, una primitiva de \(3x^2\) es \(x^3\). Sin embargo, también lo son \(x^3+2\) y \(x^3-8\), porque la derivada de cualquier constante es cero.

\[\frac{d}{dx}(x^3+C)=3x^2\]

Cuando sumamos cantidades muy pequeñas a lo largo de un intervalo aparece la otra interpretación de la integral. Esa acumulación puede ser positiva o negativa, según el signo de la función. Esta diferencia será importante al estudiar las áreas.

Conexión con las derivadas: si necesitas repasar qué significa la tasa de cambio de una función, consulta la tabla de derivadas o los ejercicios de derivadas.

Partes de una integral: símbolo, integrando y diferencial

Antes de calcular, conviene reconocer los elementos de la notación. Por ejemplo, en \(\int_1^3 x^2\,dx\) identificamos el símbolo integral, la función que se integra, la variable y los extremos.

Elemento	Qué significa	Ejemplo
\(\int\)	Símbolo de integración	\(\int f(x)\,dx\)
Integrando	Función que se quiere integrar	\(x^2\)
\(dx\)	Indica la variable de integración	En \(\int x^2\,dx\) se integra respecto de \(x\)
\(a\) y \(b\)	Límites inferior y superior cuando la integral es definida	En \(\int_1^3 x^2\,dx\), son 1 y 3
\(C\)	Constante que representa todas las primitivas	\(\frac{x^3}{3}+C\)

El símbolo \(dx\) no es un adorno: indica con respecto a qué variable estás integrando. Si integras \(x^2\) respecto de \(x\), las demás letras que representen constantes se tratan como tales.

Integral definida e indefinida: diferencias fundamentales

La distinción es sencilla: la integral indefinida da una familia de funciones, mientras que la integral definida da un número, siempre que exista.

Característica	Integral indefinida	Integral definida
Notación	\(\int f(x)\,dx\)	\(\int_a^b f(x)\,dx\)
Resultado	\(F(x)+C\)	\(F(b)-F(a)\)
¿Tiene extremos?	No	Sí, \(a\) y \(b\)
¿Se añade \(+C\)?	Sí	No, desaparece al restar los extremos
Interpretación	Buscar primitivas	Acumulación neta o área con signo

Integral indefinida: ¿por qué aparece la constante \(C\)?

Porque todas las funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada. Por ejemplo, \(\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+C\). El gráfico siguiente muestra tres primitivas distintas de la misma función \(f(x)=x\).

Tres curvas de primitivas de f(x) igual x: x cuadrado entre dos más C para tres constantes distintas — Distintas primitivas se diferencian solo en una constante: todas tienen la misma derivada.

Ejemplo guiado: integrar una potencia

Para \(\int x^4\,dx\), aumentamos el exponente en una unidad y dividimos por el nuevo exponente:

\[\int x^4\,dx=\frac{x^5}{5}+C\]

Lo comprobamos derivando: \(\frac{d}{dx}(\frac{x^5}{5}+C)=x^4\).

Integral definida: un resultado numérico

La integral \(\int_0^2 x^2\,dx\) tiene límites de integración y se calcula evaluando una primitiva en los extremos:

\[\int_0^2 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8}{3}\]

Área bajo la parábola y igual x cuadrado entre x igual cero y x igual dos — La integral de x² entre 0 y 2 coincide con el área bajo la curva: 8/3 unidades cuadradas.

En este caso la función es no negativa y el número \(\frac83\) coincide con el área comprendida entre la curva y el eje horizontal. Para un desarrollo detallado, consulta integral definida y regla de Barrow.

Fórmulas básicas de integrales inmediatas

Una integral inmediata se resuelve reconociendo una primitiva conocida. Estas son las fórmulas que conviene dominar primero:

Función	Integral indefinida	Condición o recordatorio
Constante	\(\int k\,dx=kx+C\)	\(k\) es constante
Potencia	\(\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)	\(n\neq-1\)
Recíproca	\(\int \frac1x\,dx=\ln\|x\|+C\)	Para \(x\neq0\), en cada intervalo del dominio
Exponencial natural	\(\int e^x\,dx=e^x+C\)	Se conserva la función
Exponencial general	\(\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\)	\(a>0\), \(a\neq1\)
Seno	\(\int \operatorname{sen}x\,dx=-\cos x+C\)	Recuerda el signo negativo
Coseno	\(\int \cos x\,dx=\operatorname{sen}x+C\)	En radianes
Secante al cuadrado	\(\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C\)	Donde \(\cos x\neq0\)

Para ampliar: en integrales inmediatas: tabla completa encontrarás más fórmulas y familias de primitivas, incluidas expresiones compuestas, logarítmicas y trigonométricas.

Reglas para resolver integrales paso a paso

La regla que más se utiliza con polinomios es la regla de la potencia, pero antes debes identificar si el integrando se puede separar o simplificar.

\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq-1\]

Las propiedades de linealidad permiten integrar sumas término a término y extraer constantes:

\[\int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx\]

Para una función \(f(x)=4x^3-6x+2\), las tres partes se integran por separado:

Ejemplo guiado: integrar un polinomio

\[\int(4x^3-6x+2)\,dx=x^4-3x^2+2x+C\]

Deriva el resultado para comprobar que vuelves a obtener \(4x^3-6x+2\).

⚠️ Excepción imprescindible: si el exponente es \(-1\), la regla de la potencia no sirve, porque dividirías entre cero. En ese caso \(\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C\), en cada intervalo que no contenga el 0.

Métodos de integración: cómo saber cuál utilizar

Algunas integrales no se resuelven con una única fórmula inmediata. La elección del método depende de la estructura del integrando, no solo de las funciones que aparecen.

Qué observas	Método recomendado	Ejemplo
Potencias, constantes o una fórmula conocida	Inmediatas y simplificación	\(\int (2x+3)\,dx\)
Una función compuesta acompañada por su derivada	Sustitución o cambio de variable	\(\int 2x\cos(x^2)\,dx\)
Producto que mejora al derivar uno de sus factores	Integración por partes	\(\int xe^x\,dx\)
Una fracción de polinomios	Simplificación, división o fracciones simples	\(\int \frac{1}{x^2-1}\,dx\)
Potencias o productos de funciones trigonométricas	Identidades y técnicas trigonométricas	\(\int \operatorname{sen}^2 x\,dx\)

Integración por sustitución

Si encuentras una expresión interior \(g(x)\) junto con su derivada \(g'(x)\), prueba el cambio de variable \(u=g(x)\). Por ejemplo:

\[\int 2x\cos(x^2)\,dx\overset{u=x^2}{=}\int\cos u\,du=\operatorname{sen}(x^2)+C\]

La clave es que \(du=2x\,dx\). Consulta el procedimiento completo en integrales por sustitución.

Integración por partes

Se utiliza a menudo cuando el integrando es un producto y derivar uno de sus factores lo simplifica:

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

En \(\int xe^x\,dx\), elegir \(u=x\) y \(dv=e^x\,dx\) permite reducir la integral a otra inmediata. El desarrollo está en la sección de ejercicios y en integrales por partes.

Si aparecen fracciones de polinomios, consulta integrales racionales; si aparecen senos o cosenos al cuadrado, revisa integrales trigonométricas. Cada una exige reconocer patrones específicos.

Cómo calcular una integral definida con la regla de Barrow

Cuando \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), el teorema fundamental del cálculo permite usar cualquier primitiva \(F\) para evaluar la integral:

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

El proceso puede resumirse en cuatro pasos:

Encuentra una primitiva de la función que aparece en el integrando.
Sustituye el límite superior \(b\) en esa primitiva.
Sustituye el límite inferior \(a\).
Resta \(F(b)-F(a)\) y simplifica. No añadas \(+C\).

Ejemplo guiado: regla de Barrow

Calcula la integral \(\int_1^3 2x\,dx\). Una primitiva de \(2x\) es \(F(x)=x^2\):

\[\int_1^3 2x\,dx=\left[x^2\right]_1^3=9-1=8\]

La constante de integración no afecta al resultado porque se cancela al hacer la resta.

Integral y área bajo la curva: cuidado con los signos

Una integral definida representa área con signo: las regiones por encima del eje \(x\) contribuyen positivamente, mientras que las situadas por debajo contribuyen negativamente. Por eso una integral puede dar cero incluso cuando hay superficie entre la curva y el eje.

Área negativa a la izquierda de x igual cero y positiva a la derecha para la recta y igual x — La zona inferior aporta −2 y la superior +2: la integral neta es 0, pero el área total es 4.

En el gráfico se representa \(f(x)=x\) entre \(-2\) y \(2\). Los dos triángulos tienen área 2, pero una contribución es negativa y la otra positiva:

\[\int_{-2}^{2}x\,dx=0,\qquad \int_{-2}^{2}|x|\,dx=4\]

Si te piden el área geométrica entre una curva y el eje horizontal, debes integrar el valor absoluto, o bien dividir el intervalo donde la función cambie de signo y sumar las áreas positivas de cada tramo.

Recuerda: la integral definida no es siempre el área geométrica. Lo es directamente cuando la función es no negativa en el intervalo. Este matiz evita muchos errores en exámenes.

¿Para qué sirven las integrales en la vida real?

🚗 MovimientoLa integral de la velocidad respecto del tiempo proporciona el desplazamiento.

📐 GeometríaPermiten obtener áreas bajo curvas y, con planteamientos adecuados, volúmenes de sólidos.

💧 AcumulaciónSi conoces el caudal de entrada de agua en litros por segundo, su integral entre dos instantes da el volumen total que ha entrado.

📊 EstadísticaEn una distribución continua, integrar una función de densidad en un intervalo permite calcular probabilidades.

Errores frecuentes

⚠️ Comprueba estos seis puntos antes de entregar un ejercicio:

Olvidar \(+C\) en una integral indefinida.
Aplicar la regla de potencias a \(x^{-1}\) cuando en realidad debe aparecer un logaritmo.
Olvidar la derivada interior de una función compuesta al hacer una sustitución.
Confundir \(\int f(x)g(x)\,dx\) con el producto de dos integrales: en general, no son iguales.
Restar mal los límites: la regla de Barrow exige calcular \(F(b)-F(a)\), en ese orden.
Tratar todas las integrales definidas como áreas positivas: debajo del eje, la contribución lleva signo negativo.

La comprobación más útil para las integrales indefinidas es derivar tu resultado. Si recuperas el integrando, has encontrado una primitiva correcta.

⭐ Ejercicios de integrales resueltos de menor a mayor dificultad

Intenta resolverlos antes de abrir cada solución. Comenzamos con integrales inmediatas, seguimos con sustitución y partes, y terminamos con integrales definidas y áreas con signo.

EJERCICIO 1Una integral inmediata de polinomios

📝 Enunciado

Calcula \(\int(3x^2-4x+5)\,dx\).

Ver solución paso a paso

Separamos la integral en los tres términos: \(\int3x^2\,dx-\int4x\,dx+\int5\,dx\).
Aplicamos la regla de la potencia: \(\int3x^2\,dx=x^3\), \(\int4x\,dx=2x^2\) y \(\int5\,dx=5x\).
Sumamos los resultados respetando los signos y añadimos la constante.

✅ Resultado: \(\boxed{x^3-2x^2+5x+C}\)

EJERCICIO 2Integrales logarítmicas y trigonométricas

📝 Enunciado

Calcula \(\int\left(\frac{2}{x}+e^x-3\cos x\right)dx\), para \(x\neq0\).

Ver solución paso a paso

Integramos término a término usando la linealidad.
\(\int\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|\), \(\int e^x\,dx=e^x\) y \(\int-3\cos x\,dx=-3\operatorname{sen}x\).
Añadimos \(+C\) y recordamos que la primitiva se considera en cada intervalo del dominio que no contenga el 0.

✅ Resultado: \(\boxed{2\ln|x|+e^x-3\operatorname{sen}x+C}\)

EJERCICIO 3Integración por sustitución

📝 Enunciado

Resuelve \(\int 6x(3x^2+1)^4\,dx\).

Ver solución paso a paso

Elegimos \(u=3x^2+1\), ya que su derivada es \(du=6x\,dx\).
La integral se transforma en \(\int u^4\,du\).
Integramos \(u^4\) y sustituimos de nuevo \(u\) por \(3x^2+1\).

✅ Resultado: \(\boxed{\frac{(3x^2+1)^5}{5}+C}\)

EJERCICIO 4Integración por partes

📝 Enunciado

Resuelve \(\int xe^x\,dx\).

Ver solución paso a paso

Tomamos \(u=x\) y \(dv=e^x\,dx\). Por tanto, \(du=dx\) y \(v=e^x\).
Aplicamos \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\): \(\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\).
La integral restante es inmediata y simplificamos: \(xe^x-e^x+C\).

✅ Resultado: \(\boxed{e^x(x-1)+C}\)

EJERCICIO 5Integral definida: aplicar la regla de Barrow

📝 Enunciado

Calcula \(\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx\).

Ver solución paso a paso

Una primitiva es \(F(x)=x^3-x^2+x\).
Aplicamos la regla de Barrow: \(F(2)-F(0)\).
\(F(2)=8-4+2=6\), mientras que \(F(0)=0\). No se añade constante.

✅ Resultado: \(\boxed{6}\)

EJERCICIO 6Distinguir integral con signo y área geométrica

📝 Enunciado

Para \(f(x)=x^2-1\) en \([-1,2]\), calcula \(\int_{-1}^2f(x)\,dx\) y el área geométrica entre la curva y el eje \(x\).

Ver solución paso a paso

Una primitiva es \(F(x)=\frac{x^3}{3}-x\). La integral con signo es \(F(2)-F(-1)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0\).
Los ceros de \(x^2-1\) son \(-1\) y \(1\). En \((-1,1)\) la función es negativa, y en \((1,2)\) es positiva.
Área negativa en valor absoluto: \(\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac43\). Área positiva: \(\int_1^2(x^2-1)\,dx=\frac43\).
Sumamos ambas áreas geométricas: \(\frac43+\frac43=\frac83\), aunque la integral con signo vale 0.

✅ Resultado: \(\boxed{\text{Integral}=0,\qquad\text{Área}=\frac83}\)

Si necesitas más práctica con fórmulas directas, utiliza nuestros ejercicios de integrales inmediatas.

❓ Preguntas frecuentes sobre integrales

¿Qué es una integral y para qué sirve?

Una integral indefinida permite encontrar primitivas de una función. Una integral definida mide acumulación neta en un intervalo y se usa para calcular desplazamientos, áreas con signo y otras cantidades acumuladas.

¿Cuál es la diferencia entre integral definida e indefinida?

La integral indefinida devuelve una familia de funciones F(x)+C, mientras que la integral definida entre a y b devuelve un número que se obtiene como F(b)−F(a) cuando se aplica la regla de Barrow.

¿Por qué se añade +C en las integrales indefinidas?

Porque la derivada de una constante es cero: todas las primitivas de la misma función en un intervalo se diferencian por una constante.

¿Cómo sé cuándo integrar por sustitución o por partes?

La sustitución suele ser útil cuando aparece una función compuesta acompañada por su derivada. La integración por partes suele funcionar en productos de funciones cuando derivar uno de sus factores simplifica la expresión.

¿Puede una integral definida ser negativa o igual a cero?

Sí. Una integral definida representa acumulación con signo: las zonas por debajo del eje horizontal restan. Por tanto, el resultado puede ser negativo o cero aunque exista área geométrica entre la curva y el eje.

¿Cómo puedo comprobar si una integral está bien resuelta?

En una integral indefinida, deriva la primitiva obtenida y comprueba que recuperas el integrando. En una integral definida, verifica la primitiva, sustituye los límites en el orden F(b)−F(a) y revisa los signos.

Resumen final: aprende a integrar con método

📚 Qué debes recordar: una integral indefinida busca primitivas y lleva +C; la integral definida se evalúa restando F(b)−F(a); la regla de potencias tiene la excepción n=−1; sustitución y partes ayudan cuando la integral no es inmediata; y una integral definida puede medir área con signo, no necesariamente área geométrica.

Conclusión

Resolver integrales consiste, sobre todo, en reconocer estructuras: identifica el integrando, simplifica si puedes, elige una regla y comprueba el resultado. Practicar estas seis familias de ejercicios te dará una base sólida para continuar con los métodos más específicos.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...