Como pasar de logaritmos a potencias

Logaritmos: qué son, propiedades y para qué sirven

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 4 días · Actualizado hace 4 días

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es un logaritmo? Definición y significado
  2. Partes de un logaritmo y condiciones para que exista
  3. Cómo calcular logaritmos paso a paso
  4. Tipos de logaritmos: decimal, neperiano y binario
  5. Propiedades de los logaritmos: tabla con fórmulas
  6. Cómo aplicar las propiedades en operaciones
  7. Cambio de base de logaritmos: cómo calcular cualquier base
  8. Función logarítmica: dominio, recorrido y gráfica
  9. Logaritmos en ecuaciones: despejar exponentes y comprobar soluciones
  10. ¿Para qué sirven los logaritmos en la vida real?
  11. ⭐ Ejercicios de logaritmos resueltos

¿Qué son los logaritmos y cómo se calculan? Un logaritmo es el exponente al que debemos elevar una base para obtener un número. Por ejemplo, como \(2^3=8\), sabemos que \(\log_2 8=3\). En esta guía aprenderás a interpretar la notación, aplicar las propiedades de los logaritmos y entender para qué sirven en la vida real.

¿Qué es un logaritmo? Definición y significado

Para comprender los logaritmos, empieza por una potencia: \(3^4=81\). Sabemos que la base es 3, el exponente es 4 y el resultado es 81. Si conocemos la base y el resultado, pero queremos averiguar el exponente, escribimos \(\log_3 81=4\).

\[\boxed{\log_b(x)=y\iff b^y=x}\]

La definición relaciona dos operaciones inversas: potenciar y calcular logaritmos. Igual que una raíz permite deshacer una potencia en determinados casos, un logaritmo permite encontrar su exponente. Para repasar las reglas previas, consulta las propiedades de las potencias.

Potencia dos elevado a tres igual a ocho y logaritmo de ocho en base dos igual a tres: equivalencia entre operaciones
La misma igualdad se puede escribir como potencia o como logaritmo.
Ejemplo guiado: tres logaritmos inmediatos

Identificamos qué potencia produce cada argumento:

  1. \(\log_2 16=4\), porque \(2^4=16\).
  2. \(\log_5 25=2\), porque \(5^2=25\).
  3. \(\log_{10}1000=3\), porque \(10^3=1000\).

Partes de un logaritmo y condiciones para que exista

En la expresión \(\log_2 8=3\) aparecen tres elementos que cumplen funciones diferentes:

ElementoValorQué significa
Base\(2\)Número que se eleva a una potencia.
Argumento\(8\)Número que se quiere obtener.
Resultado del logaritmo\(3\)Exponente necesario para obtener el argumento.

En los números reales, para que \(\log_b x\) esté bien definido, deben cumplirse estas restricciones:

\[b>0,\qquad b\ne1,\qquad x>0\]

El argumento debe ser estrictamente positivo, pero el resultado del logaritmo sí puede ser negativo, cero o positivo. Por ejemplo, \(\log_{10}(0{,}01)=-2\), porque \(10^{-2}=0{,}01\).

⚠️ No confundas argumento negativo con resultado negativo. \(\log_2(-8)\) no tiene valor real, mientras que \(\log_2(1/8)=-3\) es perfectamente válido.
Como pasar de logaritmos a potencias

Cómo calcular logaritmos paso a paso

Cuando el argumento se puede expresar como una potencia de la base, el logaritmo se calcula directamente sin utilizar una calculadora. Sigue esta secuencia:

  1. Identifica la base y el argumento.
  2. Plantea la igualdad exponencial: si \(\log_b x=y\), entonces \(b^y=x\).
  3. Expresa el argumento como una potencia de la base, si es posible.
  4. Iguala los exponentes y comprueba el resultado elevando la base.
Ejemplo: calcular un logaritmo con exponente fraccionario

Queremos calcular \(\log_4 8\). Buscamos \(y\) tal que \(4^y=8\). Como \(4=2^2\) y \(8=2^3\):

\[(2^2)^y=2^3\Longrightarrow2y=3\Longrightarrow\boxed{y=\frac32}\]

El logaritmo no tiene por qué ser entero: aquí \(\log_4 8=1{,}5\).

💡 Comprobación rápida: si \(\log_b x=y\), verifica siempre que \(b^y=x\). Es la forma más sencilla de detectar errores de cálculo.

Tipos de logaritmos: decimal, neperiano y binario

El procedimiento es el mismo para cualquier base válida. Sin embargo, hay tres bases especialmente habituales: 10, \(e\) y 2.

NombreBaseNotación más frecuenteEjemplo
Decimal o común\(10\)\(\log x=\log_{10}x\)\(\log100=2\)
Natural o neperiano\(e\approx2{,}71828\)\(\ln x=\log_e x\)\(\ln(e^3)=3\)
Binario\(2\)\(\log_2x\)\(\log_2 16=4\)

En matemáticas escolares, \(\log\) sin base indicada suele significar base 10 y \(\ln\) significa base \(e\). En software y en otras disciplinas, la notación puede cambiar: comprueba siempre la convención del problema.

Los logaritmos naturales aparecen en modelos de crecimiento continuo y en cálculo diferencial. Puedes ampliar sus aplicaciones en funciones exponenciales y derivadas del logaritmo neperiano.

Propiedades de los logaritmos: tabla con fórmulas

Las propiedades de los logaritmos permiten simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Todas las siguientes fórmulas se aplican con una misma base válida \(b\), y con argumentos positivos \(M\) y \(N\).

PropiedadFórmulaEjemplo
Logaritmo de 1\(\log_b 1=0\)\(\log_7 1=0\)
Logaritmo de la base\(\log_b b=1\)\(\log_5 5=1\)
Producto\(\log_b(MN)=\log_bM+\log_bN\)\(\log_2(8\cdot4)=3+2=5\)
Cociente\(\log_b(M/N)=\log_bM-\log_bN\)\(\log_3(27/3)=3-1=2\)
Potencia\(\log_b(M^k)=k\log_bM\)\(\log_2(8^2)=2\cdot3=6\)
Raíz\(\log_b\sqrt[n]{M}=\frac1n\log_bM\)\(\log_3\sqrt{81}=\frac12\cdot4=2\)
Cambio de base\(\log_bM=\frac{\ln M}{\ln b}\)\(\log_2 5=\frac{\ln5}{\ln2}\)

Estas reglas se deducen de las propiedades de las potencias. Por ejemplo, si \(b^p=M\) y \(b^q=N\), entonces \(MN=b^{p+q}\), lo que explica que el logaritmo de un producto sea una suma.

\[\log_b(MN)=\log_bM+\log_bN\]
❌ Regla que NO existe: \(\log_b(M+N)\ne\log_bM+\log_bN\) en general. Por ejemplo, \(\log_{10}(10+10)=\log_{10}20\), que no es 2.

Si quieres practicar todas las identidades con mayor detalle, continúa en propiedades de los logaritmos, un artículo específico de SoyMatemáticas.

Cómo aplicar las propiedades en operaciones

Un buen método es reconocer la operación exterior y transformarla siguiendo la propiedad adecuada. Un producto dentro del logaritmo se convierte en suma; un cociente, en resta; y el exponente del argumento se convierte en factor.

Ejemplo: simplificar \(\log_2 48-\log_2 3\)
  1. Los dos logaritmos tienen la misma base, así que podemos aplicar la propiedad del cociente.
  2. \(\log_2 48-\log_2 3=\log_2(48/3)=\log_2 16\).
  3. Como \(2^4=16\), el resultado es \(\boxed{4}\).
Ejemplo: desarrollar un logaritmo algebraico

Supongamos \(x>0\) e \(y>0\). Entonces:

\[\log_3\left(\frac{9x^2}{y}\right)=2+2\log_3x-\log_3y\]

El \(2\) aparece porque \(\log_3 9=2\); el factor \(2\log_3x\) procede de la potencia \(x^2\).

Antes de expandir, comprueba las restricciones de cada logaritmo que vaya a aparecer. En particular, escribir \(\log_b(x^2)=2\log_bx\) exige \(x>0\); para \(x\ne0\), la identidad general correcta es \(\log_b(x^2)=2\log_b|x|\).

Cambio de base de logaritmos: cómo calcular cualquier base

No siempre reconocemos una potencia exacta. En ese caso, podemos expresar un logaritmo en términos de logaritmos decimales o naturales mediante el cambio de base:

\[\boxed{\log_bx=\frac{\ln x}{\ln b}=\frac{\log x}{\log b}}\]

Por ejemplo, si queremos calcular \(\log_2 7\), usamos \(\ln7/\ln2\), que es aproximadamente \(2{,}807\). Tiene sentido: \(2^2=4\) y \(2^3=8\), de modo que el exponente buscado está entre 2 y 3.

¿Por qué funciona? Si \(y=\log_b x\), entonces \(b^y=x\). Tomando logaritmos naturales a ambos lados, obtenemos \(y\ln b=\ln x\) y despejamos \(y\).

Función logarítmica: dominio, recorrido y gráfica

Cuando consideramos \(y=\log_b x\) como función, su dominio es \((0,+\infty)\) y su recorrido es todo \(\mathbb{R}\). Todas las funciones logarítmicas reales de base válida pasan por \((1,0)\), porque \(\log_b1=0\).

Gráfica de la función logaritmo en base dos creciente y logaritmo en base un medio decreciente, con asíntota vertical en x igual a cero
Una base mayor que 1 produce una función creciente; una base entre 0 y 1 produce una decreciente.
Si la base es…La función es…Comportamiento
\(b>1\)CrecienteA mayor argumento, mayor logaritmo.
\(0<b<1\)DecrecienteA mayor argumento, menor logaritmo.

El eje vertical \(x=0\) es una asíntota vertical: la gráfica se acerca a él, pero nunca lo toca. La función logarítmica es inversa de la función exponencial \(y=b^x\), por eso sus gráficas son reflejos respecto de la recta \(y=x\).

Si necesitas repasar por qué una función solo admite determinados valores de \(x\), consulta cómo calcular el dominio de una función.

Logaritmos en ecuaciones: despejar exponentes y comprobar soluciones

Los logaritmos son útiles cuando la incógnita aparece en un exponente. Por ejemplo, la ecuación \(3^x=20\) no se resuelve igualando exponentes enteros, pero sí tomando logaritmos en ambos miembros:

\[3^x=20\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\ln20}{\ln3}\approx2{,}727\]

En una ecuación logarítmica, en cambio, la incógnita está dentro del argumento. Debemos imponer primero que los argumentos sean positivos y, al terminar, comprobar las soluciones.

Ejemplo: resolver \(\log_2(x-1)=3\)
  1. Condición de existencia: \(x-1>0\), es decir, \(x>1\).
  2. Pasamos a forma exponencial: \(x-1=2^3=8\).
  3. Despejamos: \(x=9\). Como \(9>1\), es válida.

Para más procedimientos y casos de mayor dificultad, consulta ecuaciones logarítmicas y ecuaciones exponenciales.

¿Para qué sirven los logaritmos en la vida real?

Los logaritmos permiten trabajar con cantidades que cambian por factores multiplicativos o que abarcan escalas muy amplias. Por ello aparecen en la acústica, la química, el crecimiento y los modelos financieros.

Escala logarítmica de sonido que muestra que intensidades relativas uno diez y cien corresponden a cero diez y veinte decibelios
En una misma referencia, multiplicar por diez la intensidad sonora suma 10 dB al nivel de intensidad.
🔊 Sonido en decibelios

El nivel de intensidad sonora puede expresarse como \(L=10\log_{10}(I/I_0)\). Si la intensidad física aumenta 10 veces, el nivel sube 10 dB. El 0 dB de referencia no significa ausencia de sonido.

🧪 Acidez y pH

El pH se define mediante un logaritmo negativo de la actividad de los iones hidrógeno. En aproximaciones escolares, \(\mathrm{pH}\approx-\log_{10}[H^+]\), con la concentración expresada respecto a una referencia adecuada. Una unidad de pH supone aproximadamente un factor 10 en la actividad.

📈 Crecimiento exponencial

Si una cantidad evoluciona como \(N(t)=N_0a^t\), los logaritmos ayudan a despejar el tiempo necesario para alcanzar un valor objetivo.

💶 Interés compuesto

Con capitalización anual \(C(t)=C_0(1+r)^t\), se puede calcular cuándo se alcanza una cantidad mediante \(t=\ln(C/C_0)/\ln(1+r)\).

Idea común: las escalas logarítmicas comprimen variaciones de muchos órdenes de magnitud. No convierten todas las diferencias en la misma cantidad: su comportamiento depende de relaciones multiplicativas, no de diferencias absolutas.

Errores frecuentes

⚠️ Seis errores que debes evitar
  1. Usar argumentos no positivos: \(\log_b 0\) y \(\log_b(-2)\) no están definidos en los reales.
  2. Elegir una base no válida: \(\log_1 x\) no existe, y tampoco bases negativas en la definición real usual.
  3. Confundir potencia y logaritmo: \(\log_2 8=3\), no 8 ni 2.
  4. Repartir un logaritmo sobre una suma: \(\log_b(M+N)\) no es en general \(\log_bM+\log_bN\).
  5. Olvidar que el resultado puede ser negativo: \(\log_2(1/4)=-2\).
  6. No comprobar las soluciones de ecuaciones: una raíz algebraica puede no cumplir la condición de argumento positivo.

Cuando dudes, vuelve a la definición exponencial, comprueba el dominio y distingue si estás sumando, multiplicando o elevando los argumentos.

⭐ Ejercicios de logaritmos resueltos

Intenta resolver cada ejercicio antes de abrir la solución. Están ordenados de menor a mayor dificultad: definición, exponentes negativos, propiedades, álgebra, ecuaciones y una aplicación financiera.

EJERCICIO 1Logaritmo inmediato
📝 Enunciado

Calcula \(\log_2 64\).

Ver solución paso a paso
  1. Escribimos la relación exponencial: \(2^y=64\).
  2. Reconocemos que \(64=2^6\).
  3. Igualamos exponentes: \(y=6\).
✅ Resultado: \(\boxed{\log_2 64=6}\)
EJERCICIO 2Resultado negativo
📝 Enunciado

Calcula \(\log_5\left(\frac1{125}\right)\).

Ver solución paso a paso
  1. Como \(125=5^3\), su inverso es \(\frac1{125}=5^{-3}\).
  2. Buscamos el exponente de base 5 que produce ese número: \(5^y=5^{-3}\).
  3. Igualamos exponentes y comprobamos que la base y el argumento son válidos.
✅ Resultado: \(\boxed{-3}\)
EJERCICIO 3Producto, cociente y potencias
📝 Enunciado

Calcula \(\log_3 81+\log_3\left(\frac19\right)\).

Ver solución paso a paso
  1. Reconocemos \(81=3^4\), de modo que \(\log_3 81=4\).
  2. Como \(1/9=3^{-2}\), tenemos \(\log_3(1/9)=-2\).
  3. Sumamos: \(4+(-2)=2\). También se puede aplicar la regla del producto: \(\log_3(81/9)=\log_3 9\).
✅ Resultado: \(\boxed{2}\)
EJERCICIO 4Desarrollar una expresión algebraica
📝 Enunciado

Desarrolla \(\log_2\left(\frac{32x^3}{y^2}\right)\), suponiendo \(x>0\) e \(y>0\).

Ver solución paso a paso
  1. Aplicamos el cociente: \(\log_2(32x^3)-\log_2(y^2)\).
  2. Aplicamos el producto: \(\log_2 32+\log_2 x^3-\log_2 y^2\).
  3. Extraemos los exponentes y calculamos \(\log_2 32=5\).
✅ Resultado: \(\boxed{5+3\log_2 x-2\log_2 y}\)
EJERCICIO 5Ecuación logarítmica con comprobación
📝 Enunciado

Resuelve \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3\).

Ver solución paso a paso
  1. Imponemos el dominio: \(x-1>0\) y \(x+1>0\); por tanto, \(x>1\).
  2. Aplicamos la propiedad del producto: \(\log_2((x-1)(x+1))=3\).
  3. Pasamos a potencia: \(x^2-1=2^3=8\), así que \(x^2=9\).
  4. Las soluciones algebraicas son \(x=3\) y \(x=-3\), pero solo \(x=3\) pertenece al dominio.
✅ Resultado: \(\boxed{x=3}\)
EJERCICIO 6Problema de interés compuesto
📝 Enunciado

Un capital de 1500 € crece un 4 % anual con capitalización anual. ¿Cuántos años completos necesita para alcanzar o superar los 2000 €?

Ver solución paso a paso
  1. Planteamos \(1500(1{,}04)^t\ge2000\), con \(t\) medido en años.
  2. Dividimos entre 1500: \((1{,}04)^t\ge\frac43\).
  3. Tomamos logaritmos: \(t\ln(1{,}04)\ge\ln(4/3)\). Como \(\ln(1{,}04)>0\), el sentido no cambia.
  4. Despejamos: \(t\ge\frac{\ln(4/3)}{\ln(1{,}04)}\approx7{,}335\). Deben transcurrir 8 años completos para alcanzar o superar la cantidad.
✅ Resultado: \(\boxed{8\text{ años completos}}\)

Para continuar practicando, tienes una colección específica en ejercicios de logaritmos de 4.º de ESO.

❓ Preguntas frecuentes

¿Qué es un logaritmo y cómo se lee?
\(\log_b x=y\) se lee «logaritmo de x en base b igual a y» y significa que \(b^y=x\). Es el exponente necesario para obtener el argumento a partir de la base.
¿Puede un logaritmo dar un resultado negativo?
Sí. Por ejemplo, \(\log_{10}(0{,}01)=-2\). Lo que debe ser positivo es el argumento, no necesariamente el resultado.
¿Se puede calcular el logaritmo de cero o de un número negativo?
No con los logaritmos reales habituales. Se exige argumento positivo. Además, la base debe ser positiva y distinta de 1.
¿Qué diferencia hay entre log y ln?
En la notación matemática escolar, \(\log x\) suele ser el logaritmo decimal (base 10), mientras que \(\ln x\) es el natural o neperiano (base \(e\)). Ambos obedecen las mismas propiedades.
¿Cómo se calcula un logaritmo de cualquier base?
Con la fórmula de cambio de base: \(\log_b x=\ln x/\ln b\), siempre que la base sea positiva, distinta de 1 y el argumento sea positivo.
¿Para qué sirven los logaritmos en la vida real?
Permiten despejar exponentes y trabajar con cambios multiplicativos. Aparecen, entre otros contextos, en niveles de intensidad sonora expresados en decibelios, pH, modelos de crecimiento e interés compuesto.

Resumen final

📚 Lo esencial: un logaritmo es un exponente; se puede pasar de forma logarítmica a exponencial; los argumentos reales deben ser positivos; \(\log_b1=0\) y \(\log_bb=1\); las propiedades convierten productos en sumas, cocientes en restas y potencias en productos; el cambio de base permite calcular logaritmos no inmediatos.

Conclusión

Para aprender logaritmos, no necesitas memorizar decenas de resultados: empieza por la equivalencia con las potencias, domina tres propiedades y comprueba siempre el dominio. Con esas ideas podrás simplificar expresiones, resolver ecuaciones y entender escalas logarítmicas de uso real.

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Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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