🔎 Índice de contenidos
- ¿Qué son las funciones trigonométricas? Definición y fórmulas
- Circunferencia unidad: de las razones a las funciones
- Función seno: definición, propiedades y gráfica
- Función coseno: definición, propiedades y gráfica
- Función tangente: gráfica, dominio y asíntotas
- Comparación de seno, coseno y tangente
- Valores de seno, coseno y tangente en ángulos notables
- Cómo dibujar las gráficas del seno, coseno y tangente a mano
- Amplitud, período, frecuencia y desplazamientos de las gráficas
- Identidades trigonométricas básicas que debes recordar
- 🧮 Explorador interactivo de seno, coseno y tangente
- ⭐ Ejercicios resueltos de funciones trigonométricas
¿Qué son las funciones trigonométricas y cómo se dibujan sus gráficas? Las funciones seno, coseno y tangente relacionan un ángulo con un número real. Sus gráficas permiten reconocer fenómenos periódicos, calcular alturas y resolver problemas de funciones. Aquí entenderás sus fórmulas, características, gráficas, una herramienta interactiva y ejercicios resueltos.
⚡ Funciones trigonométricas en 30 segundos
Las tres funciones básicas son seno, coseno y tangente. En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo \(\alpha\):
\[\operatorname{sen}\alpha=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto contiguo}}{\text{hipotenusa}}\]
\[\tan\alpha=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}}=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}\]
Como funciones de un ángulo \(x\), el seno y el coseno oscilan entre −1 y 1 con período \(2\pi\). La tangente tiene período \(\pi\), toma cualquier valor real y no está definida cuando \(\cos x=0\).
¿Qué son las funciones trigonométricas? Definición y fórmulas
Una función trigonométrica asigna un valor numérico a un ángulo. Las tres funciones principales son \(f(x)=\operatorname{sen}x\), \(g(x)=\cos x\) y \(h(x)=\tan x\). Aunque nacen de las razones entre los lados de un triángulo rectángulo, se extienden a ángulos de cualquier medida mediante la circunferencia unidad.
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo, el cateto contiguo toca el ángulo sin ser la hipotenusa, y la hipotenusa es el lado mayor, opuesto al ángulo recto.
💡 Para recordar las razones: seno = opuesto / hipotenusa; coseno = contiguo / hipotenusa; tangente = opuesto / contiguo. Puedes ampliar el contexto en nuestros ejercicios de trigonometría de 4.º de ESO.
Ejemplo 1. Un triángulo de lados 3, 4 y 5
Si respecto al ángulo \(\alpha\) el cateto opuesto mide 3, el contiguo mide 4 y la hipotenusa mide 5:
\[\operatorname{sen}\alpha=\frac35,\quad\cos\alpha=\frac45,\quad\tan\alpha=\frac34\]
Estas definiciones mediante lados se aplican directamente a los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Para otros ángulos utilizamos la circunferencia unidad.
Circunferencia unidad: de las razones a las funciones
La circunferencia unidad tiene radio 1 y centro en el origen. Si el punto \(P\) corresponde a un ángulo \(x\) medido desde el eje horizontal positivo, sus coordenadas son:
\[P=(\cos x,\operatorname{sen}x)\]
Por tanto, el coseno es la coordenada horizontal y el seno es la vertical. Esta interpretación explica por qué ambos valores están comprendidos entre −1 y 1.
Grados y radianes: ¿qué unidad se usa en las gráficas?
Una vuelta completa son \(360^\circ=2\pi\) radianes. Las gráficas y las propiedades algebraicas de las funciones trigonométricas se expresan habitualmente en radianes, aunque los ejercicios geométricos también pueden darse en grados.
\[180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad x_{\text{rad}}=x_{\text{grados}}\frac{\pi}{180}\]
| Grados | Radianes | Vuelta completa |
|---|---|---|
| 30° | \(\pi/6\) | 1/12 |
| 45° | \(\pi/4\) | 1/8 |
| 60° | \(\pi/3\) | 1/6 |
| 90° | \(\pi/2\) | 1/4 |
| 180° | \(\pi\) | 1/2 |
| 360° | \(2\pi\) | 1 |
Función seno: definición, propiedades y gráfica
La función seno, \(y=\operatorname{sen}x\), mide la coordenada vertical de un punto sobre la circunferencia unidad. Su gráfica es una onda suave que comienza en (0, 0), alcanza 1, vuelve a 0, baja hasta −1 y regresa a 0.
| Propiedad | Función seno |
|---|---|
| Dominio | \(\mathbb{R}\) |
| Recorrido o imagen | \([-1,1]\) |
| Período fundamental | \(2\pi\) rad = 360° |
| Amplitud | 1 |
| Ceros | \(x=k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\) |
| Máximos | 1 en \(x=\pi/2+2k\pi\) |
| Mínimos | −1 en \(x=3\pi/2+2k\pi\) |
| Simetría | Impar: \(\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x\) |
📌 Lectura rápida de la gráfica: en un período \([0,2\pi]\), el seno pasa por (0, 0), \((\pi/2,1)\), \((\pi,0)\), \((3\pi/2,-1)\) y \((2\pi,0)\).
Función coseno: definición, propiedades y gráfica
La función coseno, \(y=\cos x\), mide la coordenada horizontal de la circunferencia unidad. También oscila entre −1 y 1, pero comienza en 1 cuando \(x=0\). Puedes ampliar su estudio en coseno en trigonometría.
| Propiedad | Función coseno |
|---|---|
| Dominio | \(\mathbb{R}\) |
| Recorrido | \([-1,1]\) |
| Período fundamental | \(2\pi\) rad = 360° |
| Amplitud | 1 |
| Ceros | \(x=\pi/2+k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\) |
| Máximos | 1 en \(x=2k\pi\) |
| Mínimos | −1 en \(x=\pi+2k\pi\) |
| Simetría | Par: \(\cos(-x)=\cos x\) |
Las gráficas de seno y coseno tienen la misma forma y se diferencian por un desplazamiento horizontal de \(\pi/2\):
\[\cos x=\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\]
Función tangente: gráfica, dominio y asíntotas
La función \(y=\tan x\) es el cociente entre seno y coseno:
\[\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x},\qquad \cos x\neq0\]
Su gráfica no es una onda acotada: tiene ramas crecientes separadas por asíntotas verticales. En los ángulos donde el coseno es cero, la tangente no está definida.
| Propiedad | Función tangente |
|---|---|
| Dominio | \(\mathbb{R}\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb{Z}\}\) |
| Recorrido | \(\mathbb{R}\) |
| Período fundamental | \(\pi\) rad = 180° |
| Ceros | \(x=k\pi\) |
| Asíntotas verticales | \(x=\pi/2+k\pi\) |
| Simetría | Impar: \(\tan(-x)=-\tan x\) |
| Amplitud | No tiene amplitud finita (no está acotada) |
⚠️ Error frecuente: \(\tan 90^\circ\) y \(\tan 270^\circ\) no existen. No son infinitos ni valores numéricos: la función no está definida en esos puntos. Una asíntota describe cómo crecen o decrecen los valores al acercarse a ellos.
Comparación de seno, coseno y tangente
| Característica | Seno | Coseno | Tangente |
|---|---|---|---|
| Notación | \(\operatorname{sen}x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) |
| Valor en 0 | 0 | 1 | 0 |
| Dominio | Todos los reales | Todos los reales | Excepto \(\pi/2+k\pi\) |
| Recorrido | \([-1,1]\) | \([-1,1]\) | \(\mathbb{R}\) |
| Período | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
| Amplitud | 1 | 1 | No definida |
| Asíntotas | No | No | Sí, verticales |
| Gráfica | Onda desde 0 | Onda desde 1 | Ramas crecientes |
Valores de seno, coseno y tangente en ángulos notables
Esta tabla es la base de numerosos ejercicios, tanto en grados como en radianes:
| Ángulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ=0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
| \(30^\circ=\pi/6\) | \(1/2\) | \(\sqrt3/2\) | \(\sqrt3/3\) |
| \(45^\circ=\pi/4\) | \(\sqrt2/2\) | \(\sqrt2/2\) | \(1\) |
| \(60^\circ=\pi/3\) | \(\sqrt3/2\) | \(1/2\) | \(\sqrt3\) |
| \(90^\circ=\pi/2\) | \(1\) | \(0\) | No definida |
| \(180^\circ=\pi\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(270^\circ=3\pi/2\) | \(-1\) | \(0\) | No definida |
| \(360^\circ=2\pi\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) |
Signos de las funciones en cada cuadrante
| Cuadrante | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| I (0°–90°) | + | + | + |
| II (90°–180°) | + | − | − |
| III (180°–270°) | − | − | + |
| IV (270°–360°) | − | + | − |
💡 Ejemplo: \(150^\circ\) está en el segundo cuadrante. El ángulo de referencia es 30°; por eso \(\operatorname{sen}150^\circ=1/2\), \(\cos150^\circ=-\sqrt3/2\) y \(\tan150^\circ=-\sqrt3/3\).
Cómo dibujar las gráficas del seno, coseno y tangente a mano
Para el seno y el coseno
- Dibuja los ejes y marca \(0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi\) en el eje horizontal.
- Marca −1 y 1 en el eje vertical, ya que son los extremos del recorrido.
- Coloca los cinco puntos clave de la función elegida según la tabla siguiente.
- Únelos con una curva suave y repite la forma cada \(2\pi\).
| x | 0 | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(3\pi/2\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|
| sen x | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 |
| cos x | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
Para la tangente
- Marca los ceros en \(x=0,\pi,2\pi\).
- Dibuja las asíntotas verticales discontinuas en \(x=\pi/2\) y \(x=3\pi/2\).
- En cada tramo entre asíntotas dibuja una rama creciente: no cruces nunca las asíntotas.
- Repite la forma cada \(\pi\).
⚠️ En una gráfica de tangente no se unen puntos a través de una asíntota. Esos trazos representarían valores que la función no toma.
Amplitud, período, frecuencia y desplazamientos de las gráficas
Las funciones trigonométricas permiten modelar ondas que cambian de altura, se repiten más rápido o se desplazan. Para seno y coseno se utiliza habitualmente la forma:
\[f(x)=A\operatorname{sen}(B(x-C))+D\]
También puedes sustituir \(\operatorname{sen}\) por \(\cos\). Con \(A\neq0\) y \(B\neq0\):
| Parámetro | Efecto | Cómo calcularlo |
|---|---|---|
| \(A\) | Altura de la oscilación y reflexión si es negativo | Amplitud = \(|A|\) |
| \(B\) | Estiramiento o compresión horizontal | Período = \(2\pi/|B|\) |
| \(C\) | Desplazamiento horizontal | Derecha si \(C>0\), izquierda si \(C<0\) |
| \(D\) | Desplazamiento vertical | La línea media es \(y=D\) |
Ejemplo 2. Analizar \(f(x)=3\operatorname{sen}(2x)+1\)
- La amplitud es \(|3|=3\).
- El período es \(2\pi/2=\pi\).
- La línea media es \(y=1\).
- La imagen es \([1-3,1+3]=[-2,4]\).
- La gráfica oscila dos veces entre 0 y \(2\pi\).
Para \(g(x)=A\tan(B(x-C))+D\), con \(A\neq0\) y \(B\neq0\), el período es \(\pi/|B|\). La tangente no tiene amplitud, pero sus ramas se pueden estirar y desplazar.
Si te interesan las transformaciones algebraicas más avanzadas, consulta las fórmulas trigonométricas y las razones trigonométricas de la suma de ángulos.
Identidades trigonométricas básicas que debes recordar
Una identidad trigonométrica es una igualdad válida para todos los ángulos de su dominio. Las más utilizadas son:
\[\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1\]
\[\tan x=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\quad(\cos x\neq0)\]
\[\operatorname{sen}(x+2\pi)=\operatorname{sen}x,\qquad\cos(x+2\pi)=\cos x\]
\[\tan(x+\pi)=\tan x\quad\text{si está definida}\]
Ejemplo 3. Calcular el seno a partir del coseno
Si \(\cos x=3/5\) y sabemos que \(x\) está en el primer cuadrante, entonces el seno es positivo:
\[\operatorname{sen}^2x=1-\frac9{25}=\frac{16}{25}\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{sen}x=\frac45\]
La condición del cuadrante es imprescindible para elegir correctamente el signo de la raíz.
🧮 Explorador interactivo de seno, coseno y tangente
Mueve el control para cambiar el ángulo. Observa cómo cambian las coordenadas del punto de la circunferencia unidad y los tres valores trigonométricos. Si WordPress bloquea JavaScript, el ejemplo estático sigue mostrando el caso de 30°.
Errores frecuentes con las funciones trigonométricas
⚠️ Los errores que más puntos cuestan:
- Confundir grados y radianes: \(\operatorname{sen}30^\circ=1/2\), pero \(\operatorname{sen}(30)\) en radianes no vale 1/2.
- Creer que seno y coseno son siempre positivos: cambian de signo según el cuadrante.
- Empezar ambas gráficas en (0,0): el coseno comienza en (0,1).
- Dar período \(2\pi\) a la tangente: su período fundamental es \(\pi\).
- Calcular \(\tan90^\circ\): no está definida.
- Atribuir amplitud a la tangente: la tangente no está acotada.
- Usar \(2\pi/B\) si \(B\) es negativo: el período se calcula con \(|B|\).
- Olvidar soluciones periódicas: \(\operatorname{sen}x=0\) tiene infinitas soluciones, no solo \(x=0\).
⭐ Ejercicios resueltos de funciones trigonométricas
Resuelve cada ejercicio y abre la explicación para comparar tu procedimiento. Hay cuestiones de cálculo, lectura de gráficas, funciones transformadas y ecuaciones.
EJERCICIO 1Razones trigonométricas en un triángulo
📝 EnunciadoEl cateto opuesto a \(\alpha\) mide 6 cm y el contiguo mide 8 cm. Calcula seno, coseno y tangente.
Ver solución paso a paso
- Por Pitágoras, la hipotenusa es \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) cm.
- \(\operatorname{sen}\alpha=6/10=3/5\).
- \(\cos\alpha=8/10=4/5\).
- \(\tan\alpha=6/8=3/4\).
✅ Resultado: \(\operatorname{sen}\alpha=3/5\), \(\cos\alpha=4/5\), \(\tan\alpha=3/4\).
EJERCICIO 2Convertir grados a radianes
📝 EnunciadoExpresa 150° en radianes.
Ver solución paso a paso
- Multiplica por \(\pi/180\).
- \(150\cdot\pi/180=5\pi/6\).
✅ Resultado: \(150^\circ=5\pi/6\) rad.
EJERCICIO 3Calcular valores notables
📝 EnunciadoCalcula \(\operatorname{sen}60^\circ\), \(\cos45^\circ\) y \(\tan30^\circ\).
Ver solución paso a paso
Consulta los valores exactos de la tabla de ángulos notables y no redondees prematuramente.
✅ Resultado: \(\sqrt3/2\), \(\sqrt2/2\) y \(\sqrt3/3\), respectivamente.
EJERCICIO 4Signos por cuadrantes
📝 EnunciadoCalcula las tres razones para 120°.
Ver solución paso a paso
- 120° está en el cuadrante II: el seno es positivo y el coseno y tangente negativos.
- El ángulo de referencia es \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\).
✅ Resultado: \(\operatorname{sen}120^\circ=\sqrt3/2\); \(\cos120^\circ=-1/2\); \(\tan120^\circ=-\sqrt3\).
EJERCICIO 5Leer la gráfica del seno
📝 Enunciado¿Dónde alcanza su máximo \(y=\operatorname{sen}x\) en \([0,2\pi]\)? ¿Y su mínimo?
Ver solución paso a paso
- El máximo de la gráfica es 1 y ocurre en \(x=\pi/2\).
- El mínimo es −1 y ocurre en \(x=3\pi/2\).
✅ Resultado: máximo \((\pi/2,1)\); mínimo \((3\pi/2,-1)\).
EJERCICIO 6Dominio de la tangente
📝 EnunciadoExplica por qué \(\tan(\pi/2)\) no está definida y escribe el dominio general.
Ver solución paso a paso
- La tangente es el cociente seno/coseno.
- \(\cos(\pi/2)=0\): no se puede dividir entre cero.
- Ocurre lo mismo en \(\pi/2+k\pi\), para cualquier entero \(k\).
✅ Resultado: \(\mathbb{R}\setminus\{\pi/2+k\pi:k\in\mathbb{Z}\}\).
EJERCICIO 7Amplitud, período e imagen
📝 EnunciadoEstudia \(f(x)=-2\cos(3x)+1\): amplitud, período, línea media y recorrido.
Ver solución paso a paso
- Amplitud: \(|-2|=2\).
- Período: \(2\pi/3\).
- Línea media: \(y=1\).
- Recorrido: \([1-2,1+2]=[-1,3]\).
✅ Resultado: amplitud 2; período \(2\pi/3\); línea media 1; recorrido \([-1,3]\).
EJERCICIO 8Identidad fundamental
📝 EnunciadoSi \(\operatorname{sen}x=3/5\) y el ángulo está en el segundo cuadrante, calcula \(\cos x\) y \(\tan x\).
Ver solución paso a paso
- \(\cos^2x=1-9/25=16/25\).
- En el segundo cuadrante, el coseno es negativo: \(\cos x=-4/5\).
- \(\tan x=(3/5)/(-4/5)=-3/4\).
✅ Resultado: \(\cos x=-4/5\) y \(\tan x=-3/4\).
EJERCICIO 9Resolver una ecuación de seno
📝 EnunciadoResuelve \(\operatorname{sen}x=1/2\) en el intervalo \([0,2\pi)\).
Ver solución paso a paso
- El ángulo de referencia es 30° = \(\pi/6\).
- El seno es positivo en los cuadrantes I y II.
- Las soluciones son \(\pi/6\) y \(5\pi/6\).
✅ Resultado: \(x\in\{\pi/6,5\pi/6\}\) en el intervalo dado.
EJERCICIO 10Ecuación de tangente: todas las soluciones
📝 EnunciadoResuelve \(\tan x=1\) para cualquier ángulo real.
Ver solución paso a paso
- Sabemos que \(\tan(\pi/4)=1\).
- Como su período es \(\pi\), el valor se repite cada \(\pi\).
✅ Resultado: \(x=\pi/4+k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).
EJERCICIO 11Aplicación: altura de un edificio
📝 EnunciadoDesde un punto situado a 20 m de la base de un edificio se observa su parte superior con un ángulo de elevación de 30°. Calcula la altura, suponiendo un terreno horizontal y que la altura de observación es despreciable.
Ver solución paso a paso
- La altura es el cateto opuesto y 20 m es el contiguo.
- \(\tan30^\circ=h/20\).
- \(h=20\tan30^\circ=20\sqrt3/3\approx11{,}55\) m.
✅ Resultado: la altura es aproximadamente 11,55 m.
❓ Preguntas frecuentes sobre las funciones trigonométricas
¿Qué son las funciones trigonométricas?
Son funciones que relacionan un ángulo con un número real. Las básicas son seno, coseno y tangente. Se pueden definir a partir del triángulo rectángulo y extender a todos los ángulos mediante la circunferencia unidad.
¿Cuál es la diferencia entre seno, coseno y tangente?
En la circunferencia unidad, el coseno es la coordenada horizontal y el seno la vertical; la tangente es seno dividido por coseno, siempre que este último no sea cero.
¿Cuál es el período de seno, coseno y tangente?
El seno y el coseno tienen período fundamental 2π radianes (360°). La tangente tiene período π radianes (180°).
¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada función?
Seno y coseno: dominio todos los reales y recorrido [−1,1]. Tangente: recorrido todos los reales y dominio todos excepto π/2+kπ, con k entero.
¿Por qué la tangente tiene asíntotas verticales?
Porque la tangente es seno dividido por coseno. Cuando el coseno se acerca a cero y el seno no, los valores de la tangente crecen o decrecen sin límite; en ese ángulo la función no está definida.
¿Cómo se calcula la amplitud de una función trigonométrica?
Para A·sen(B(x−C))+D o A·cos(B(x−C))+D, con A distinto de cero, la amplitud es |A|. La función tangente no tiene amplitud finita.
¿Cómo saber si la calculadora está en grados o radianes?
Comprueba el indicador DEG o RAD. Por ejemplo, sen(30°)=0,5 en modo grados y sen(π/6)=0,5 en modo radianes. Son el mismo ángulo.
¿Qué función trigonométrica se usa para calcular alturas?
Si conoces la distancia horizontal y el ángulo de elevación, suele utilizarse la tangente: tan(ángulo)=altura/distancia. También se pueden usar seno o coseno según los datos conocidos.
📚 Resumen final: el seno comienza en 0, el coseno comienza en 1 y ambos se repiten cada \(2\pi\). La tangente se repite cada \(\pi\) y presenta asíntotas en \(\pi/2+k\pi\). Practica la conversión grados–radianes, los ángulos notables y los puntos clave de cada gráfica.
Continúa aprendiendo trigonometría
Si ya dominas estas tres funciones, los siguientes temas te ayudarán a avanzar:
Ejercicios de trigonometríaFórmulas trigonométricasFunción cosenoDominio de funcionesDerivadas trigonométricasEspero que te haya gustado este artículo sobre Funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y sus gráficas. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!
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