valor absoluto de un número

Valor absoluto de un número

Justo Fernández

Justo Fernández

hace 23 horas · Actualizado hace 23 horas

🔎 Índice de contenidos
  1. ¿Qué es el valor absoluto de un número?
  2. Cómo calcular el valor absoluto paso a paso
  3. Diferencia entre valor absoluto y número opuesto
  4. Definición matemática del valor absoluto por casos
  5. Propiedades del valor absoluto que debes conocer
  6. Cómo calcular la distancia entre dos números usando el valor absoluto
  7. Función valor absoluto: gráfica, dominio y recorrido
  8. Ecuaciones con valor absoluto: cómo se resuelven
  9. Inecuaciones con valor absoluto y su relación con los intervalos
  10. ¿Para qué sirve el valor absoluto en la vida real?
  11. Tabla resumen del valor absoluto
  12. ⭐ Ejercicios de valor absoluto resueltos

¿Qué es el valor absoluto de un número y cómo se calcula? El valor absoluto indica la distancia de un número al cero en la recta numérica. Por eso nunca es negativo: el valor absoluto de −7 es 7. En esta guía aprenderás todo lo que te hace falta para dominarlo.

¿Qué es el valor absoluto de un número?

El valor absoluto de un número real es la distancia que separa su posición del origen (0) en la recta numérica. Se escribe colocando el número entre barras verticales: \(|a|\). Como se trata de una distancia, no puede ser negativo.

El número \(-4\) está cuatro unidades a la izquierda del cero y el \(4\) está cuatro unidades a la derecha. Ambos tienen el mismo valor absoluto:

\[|-4|=4\qquad\text{y}\qquad |4|=4\]
Recta numérica con los puntos −4, 0 y 4 y dos recorridos de cuatro unidades que muestran que ambos tienen el mismo valor absoluto
Los números opuestos están a igual distancia del cero, aunque tengan signos distintos.

Esta interpretación funciona con enteros, decimales, fracciones y números irracionales. Por ejemplo, \(|-2{,}5|=2{,}5\) y \(|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}\). Puedes repasar cómo se ordenan y representan estos valores en números reales.

💡 Para recordarlo: «valor absoluto» no significa simplemente «borrar el signo» en cualquier expresión. Primero se evalúa lo que hay dentro de las barras y después se toma su distancia al cero.

Cómo calcular el valor absoluto paso a paso

Para encontrar el valor absoluto de un número o una expresión numérica, aplica estas tres comprobaciones:

  1. Resuelve primero las operaciones interiores de las barras, si las hay.
  2. Observa el signo del resultado: positivo, negativo o cero.
  3. Escribe su distancia al cero: conserva los positivos y el cero, y cambia de signo los negativos.
ExpresiónCómo se interpretaResultado
\(|8|\)8 ya es positivo\(8\)
\(|-8|\)−8 está a 8 unidades de 0\(8\)
\(|0|\)0 está a distancia 0\(0\)
\(|-3{,}6|\)Decimal negativo\(3{,}6\)
\(\left|-\frac{2}{5}\right|\)Fracción negativa\(\frac25\)
\(|4-9|\)Primero \(4-9=-5\)\(5\)
Ejemplo 1. Valor absoluto con operaciones

Calcula \(|3-11|+|-4|\). Primero resolvemos \(3-11=-8\). Después tomamos los valores absolutos: \(|-8|=8\) y \(|-4|=4\). Finalmente, sumamos: \(8+4=12\).

⚠️ Fíjate dónde está el signo menos: \(|-6|=6\), pero \(-|-6|=-6\). En el segundo caso el menos externo se conserva tras calcular el valor absoluto.
valor absoluto de un número

Diferencia entre valor absoluto y número opuesto

El opuesto de un número se obtiene cambiándole el signo, mientras que su valor absoluto es la distancia al cero. No son lo mismo:

NúmeroOpuestoValor absoluto
\(7\)\(-7\)\(7\)
\(-7\)\(7\)\(7\)
\(0\)\(0\)\(0\)
\(-1{,}5\)\(1{,}5\)\(1{,}5\)

Si \(a=5\), entonces su opuesto es \(-a=-5\), pero \(|a|=5\). En general, se cumple la propiedad:

\[|-a|=|a|\]

Esta igualdad explica por qué números como \(-9\) y \(9\) tienen el mismo valor absoluto sin ser el mismo número.

Definición matemática del valor absoluto por casos

La definición formal reúne en una sola regla los números positivos, negativos y el cero. Se expresa como una función definida a trozos:

\[|x|=\begin{cases}x,&\text{si }x\ge 0\\-x,&\text{si }x<0\end{cases}\]

En la segunda línea, \(-x\) no es necesariamente negativo: si \(x=-4\), entonces \(-x=-(-4)=4\). Por eso ambas ramas producen valores no negativos.

Ejemplo 2. Aplicar la definición por casos

Si \(x=-7\), usamos la rama \(-x\) porque \(x\) es negativo: \(|-7|=-(-7)=7\). Si \(x=7\), usamos directamente \(x\): \(|7|=7\).

Esta forma de escribir una regla se utiliza también en funciones definidas a trozos.

Propiedades del valor absoluto que debes conocer

Además de su definición, el valor absoluto cumple propiedades que facilitan operaciones y demostraciones. Para números reales \(a\) y \(b\):

PropiedadFórmulaEjemplo
No negatividad\(|a|\ge 0\)\(|-2|=2\)
Valor absoluto nulo\(|a|=0\iff a=0\)\(|0|=0\)
Simetría\(|-a|=|a|\)\(|-4|=|4|\)
Producto\(|ab|=|a|\,|b|\)\(|-3\cdot2|=3\cdot2\)
Cociente\(\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\), \(b\ne0\)\(\left|\frac{-6}{2}\right|=3\)
Desigualdad triangular\(|a+b|\le|a|+|b|\)\(|-4+3|=1\le7\)

La desigualdad triangular indica que la distancia directa no supera la suma de las distancias de dos recorridos. Es importante en geometría y en matemáticas avanzadas.

⚠️ Una propiedad falsa muy habitual: en general, \(|a+b|\ne |a|+|b|\). Por ejemplo, \(|-2+5|=3\), pero \(|-2|+|5|=7\).

Cómo calcular la distancia entre dos números usando el valor absoluto

Para calcular la distancia entre dos puntos de la recta real no importa cuál queda a la izquierda. Si sus coordenadas son \(a\) y \(b\), la distancia es:

\[d(a,b)=|a-b|=|b-a|\]

Por ejemplo, entre \(-2\) y \(5\) hay siete unidades:

\[d(-2,5)=|-2-5|=|-7|=7\]
Recta numérica con los puntos −2 y 5 separados por una distancia de siete unidades
La distancia no depende del orden: |−2−5| y |5−(−2)| valen 7.
💡 Aplicación práctica: si dos temperaturas son \(-3\ ^\circ\mathrm{C}\) y \(4\ ^\circ\mathrm{C}\), su diferencia es \(|-3-4|=7\ ^\circ\mathrm{C}\). El valor absoluto permite expresar el tamaño de esa diferencia sin asignarle un signo.

Función valor absoluto: gráfica, dominio y recorrido

Cuando escribimos \(f(x)=|x|\), el valor absoluto deja de ser solo una operación con números concretos y se convierte en una función matemática. Su gráfica tiene forma de V, con el vértice en el origen.

Gráfica cartesiana en forma de V de y igual al valor absoluto de x, con vértice en el origen y ramas y igual a menos x e y igual a x
La rama izquierda corresponde a y = −x y la derecha a y = x; ambas se unen en (0,0).
CaracterísticaFunción \(f(x)=|x|\)
Dominio\(\mathbb{R}\) (todos los reales)
Recorrido\([0,+\infty)\)
Mínimo\(0\), en \(x=0\)
SimetríaPar: \(f(-x)=f(x)\)
Decrece / creceDecrece hasta 0 y crece a partir de 0

Si desplazamos la función, \(y=|x-2|\) tiene su vértice en \((2,0)\), mientras que \(y=|x|+3\) lo tiene en \((0,3)\). Consulta también cómo estudiar el dominio de una función.

Ejemplo 3. Una función con valor absoluto

Para \(f(x)=|x-2|\), se cumple \(f(0)=2\), \(f(2)=0\) y \(f(5)=3\). La gráfica representa la distancia horizontal desde el número \(x\) hasta el número \(2\).

Ecuaciones con valor absoluto: cómo se resuelven

Una ecuación como \(|x-3|=5\) pregunta qué valores de \(x\) están a cinco unidades de 3. Como podemos estar a la izquierda o a la derecha, suele haber dos soluciones.

\[|A|=k,\ k>0\ \Longleftrightarrow\ A=k\ \text{o}\ A=-k\]
Ejemplo 4. Resolver una ecuación de valor absoluto

Resolvemos \(|x-3|=5\):

  1. Primer caso: \(x-3=5\), de donde \(x=8\).
  2. Segundo caso: \(x-3=-5\), de donde \(x=-2\).
  3. Comprobación: \(|8-3|=5\) y \(|-2-3|=5\).

Resultado: \(x\in\{-2,8\}\).

Si el segundo miembro es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales porque un valor absoluto nunca es negativo. Si es cero, basta con resolver que la expresión interior sea cero.

Inecuaciones con valor absoluto y su relación con los intervalos

Las desigualdades con valor absoluto expresan distancias menores o mayores que un número. Para \(r>0\):

CondiciónSignificadoSolución
\(|x-a|<r\)Distancia a \(a\) menor que \(r\)\(a-r<x<a+r\)
\(|x-a|\le r\)Distancia a \(a\) como máximo \(r\)\(a-r\le x\le a+r\)
\(|x-a|>r\)Distancia a \(a\) mayor que \(r\)\(x<a-r\) o \(x>a+r\)
\(|x-a|\ge r\)Distancia a \(a\) al menos \(r\)\(x\le a-r\) o \(x\ge a+r\)
Comparación de dos soluciones de inecuaciones: valor absoluto de x menos uno menor o igual que tres produce el intervalo de menos dos a cuatro, mientras que mayor o igual produce dos semirrectas
Menor que una distancia fija produce un tramo central; mayor que esa distancia produce los dos extremos.

Por ejemplo, \(|x-1|\le3\) equivale a \(-2\le x\le4\). En cambio, \(|x-1|\ge3\) da \(x\le-2\) o \(x\ge4\). Si quieres afianzar la técnica, repasa inecuaciones de primer grado.

Recordatorio: la notación \([-2,4]\) incluye los extremos, mientras que \((-2,4)\) los excluye.

¿Para qué sirve el valor absoluto en la vida real?

El valor absoluto aparece cada vez que importa el tamaño de una diferencia y no su sentido. Algunos usos sencillos son:

🌡️ Cambios de temperaturaEntre \(-4\ ^\circ\mathrm{C}\) y \(3\ ^\circ\mathrm{C}\) hay \(|-4-3|=7\) grados de diferencia.
📏 Errores de mediciónSi la medida esperada es 10 cm y obtienes 9,7 cm, el error absoluto es \(|9{,}7-10|=0{,}3\) cm.
📍 DistanciasDos puntos situados en \(-6\) y \(2\) en una recta están a \(|-6-2|=8\) unidades.
🏭 ToleranciasSi una pieza debe medir 20 mm con tolerancia ±0,2 mm, debe cumplir \(|x-20|\le0{,}2\).

En problemas de datos y análisis de funciones, el valor absoluto también ayuda a comparar desviaciones y cuantificar diferencias de manera uniforme.

Tabla resumen del valor absoluto

Esta tabla reúne las reglas y expresiones que conviene reconocer de un vistazo.

ExpresiónInterpretaciónEjemplo
\(|a|\)Distancia de \(a\) al cero\(|-6|=6\)
\(|a-b|\)Distancia entre \(a\) y \(b\)\(|-1-4|=5\)
\(|x|=k\), \(k>0\)Dos números a distancia \(k\) del origen\(x=\pm k\)
\(|x-a|<r\), \(r>0\)Interior de un intervalo abierto\(a-r<x<a+r\)
\(|x-a|\ge r\), \(r>0\)Dos semirrectas, extremos incluidos\(x\le a-r\) o \(x\ge a+r\)

Errores frecuentes

⚠️ Evita estas confusiones:
  1. Dar un valor negativo al resultado: \(|-7|\) es \(7\), no \(-7\).
  2. Olvidar el menos exterior: \(-|-7|=-7\), no \(7\).
  3. Eliminar las barras antes de operar: \(|2-9|=7\), no \(2-9=-7\).
  4. Confundir opuesto y valor absoluto: el opuesto de 5 es −5, pero su valor absoluto es 5.
  5. Distribuir el valor absoluto en una suma: \(|a+b|\) no equivale normalmente a \(|a|+|b|\).
  6. Dejar una sola solución en \(|x|=k\), con \(k>0\): hay dos, \(k\) y \(-k\).

Un método para comprobar resultados es pensar siempre en distancias sobre la recta numérica: nunca deben ser negativas.

⭐ Ejercicios de valor absoluto resueltos

Los ejercicios están ordenados de menor a mayor dificultad. Intenta resolver cada uno antes de abrir «Ver solución paso a paso».

EJERCICIO 1Valor absoluto de enteros y cero
📝 Enunciado

Calcula \(|-12|\), \(|7|\) y \(|0|\).

Ver solución paso a paso
  1. El número \(-12\) está a 12 unidades del cero.
  2. El número 7 ya es no negativo.
  3. El cero está a distancia 0 de sí mismo.
✅ Resultado: \(\boxed{12,\;7,\;0}\)
EJERCICIO 2Operaciones dentro y fuera de las barras
📝 Enunciado

Calcula \(A=|5-13|-|-3|+|-2+6|\).

Ver solución paso a paso
  1. Primero resuelve dentro de cada barra: \(5-13=-8\) y \(-2+6=4\).
  2. Calcula \(|-8|=8\), \(|-3|=3\) y \(|4|=4\).
  3. Realiza las operaciones exteriores: \(8-3+4=9\).
✅ Resultado: \(\boxed{A=9}\)
EJERCICIO 3Fracciones y signo exterior
📝 Enunciado

Calcula \(B=\left|-\frac{3}{4}\right|-\left|\frac12-\frac54\right|\).

Ver solución paso a paso
  1. Primer término: \(\left|-\frac34\right|=\frac34\).
  2. Segundo término: \(\frac12-\frac54=\frac24-\frac54=-\frac34\).
  3. Por tanto, \(B=\frac34-\frac34=0\).
✅ Resultado: \(\boxed{B=0}\)
EJERCICIO 4Distancia entre dos números decimales
📝 Enunciado

Determina la distancia entre \(a=-3{,}5\) y \(b=2{,}25\) en una recta.

Ver solución paso a paso
  1. La distancia entre dos números es el valor absoluto de su diferencia.
  2. Sustituye: \(d=|-3{,}5-2{,}25|\).
  3. Calcula: \(d=|-5{,}75|=5{,}75\).
✅ Resultado: \(\boxed{d=5{,}75\text{ unidades}}\)
EJERCICIO 5Resolver una ecuación con valor absoluto
📝 Enunciado

Resuelve \(|2x-3|=7\) y comprueba las soluciones.

Ver solución paso a paso
  1. Primer caso: \(2x-3=7\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5\).
  2. Segundo caso: \(2x-3=-7\Rightarrow 2x=-4\Rightarrow x=-2\).
  3. Comprobación: \(|2\cdot5-3|=7\) y \(|2(-2)-3|=7\).
✅ Resultado: \(\boxed{x=-2\ \text{o}\ x=5}\)
EJERCICIO 6Resolver una inecuación con valor absoluto
📝 Enunciado

Resuelve \(|2x-1|<5\) y expresa el resultado en forma de intervalo.

Ver solución paso a paso
  1. Como el valor absoluto es menor que 5: \(-5<2x-1<5\).
  2. Sumamos 1 en todos los miembros: \(-4<2x<6\).
  3. Dividimos entre 2: \(-2<x<3\).
  4. Como las desigualdades son estrictas, excluimos ambos extremos.
✅ Resultado: \(\boxed{x\in(-2,3)}\)

❓ Preguntas frecuentes

¿Qué es el valor absoluto de un número?

Es su distancia al cero en la recta real. Se escribe entre dos barras, por ejemplo \(|-5|=5\).

¿Puede el valor absoluto ser negativo?

No. Una distancia siempre es no negativa: \(|x|\ge0\) para todo número real \(x\). Solo vale cero cuando \(x=0\).

¿Cuál es el valor absoluto de −8 y de 8?

Los dos valen 8, porque \(-8\) y \(8\) están a ocho unidades del origen.

¿Qué diferencia existe entre el opuesto y el valor absoluto?

El opuesto cambia el signo: el opuesto de 5 es −5. El valor absoluto mide la distancia al cero: \(|5|=5\) y \(|-5|=5\).

¿Cómo se calcula la distancia entre dos números con valor absoluto?

Restando sus coordenadas y tomando el valor absoluto: \(d(a,b)=|a-b|\). Por ejemplo, entre −2 y 4 hay \(|-2-4|=6\) unidades.

¿Cómo se resuelve una ecuación como |x−3| = 5?

Se plantean dos casos: \(x-3=5\) y \(x-3=-5\). Por tanto, las soluciones son \(x=8\) y \(x=-2\).

📚 Resumen final: el valor absoluto es una distancia y nunca es negativo. Para calcularlo, opera primero dentro de las barras. Úsalo también para distancias entre números, ecuaciones, inecuaciones y para interpretar la gráfica en forma de V.

Conclusión

Comprender el valor absoluto de un número es más útil que aprender a «quitar el signo» de memoria. Su significado geométrico como distancia explica la definición, las propiedades y las soluciones de ecuaciones e inecuaciones. Si dominas esta idea, podrás resolver expresiones y problemas con mucha más seguridad.

Sigue aprendiendo en SoyMatemáticas

🔢 Números reales📐 Inecuaciones📈 Funciones a trozos✍️ Ejercicios de funciones
Potencias: qué son, propiedades y ejemplosPotencias: qué son, propiedades y ejemplos
Cómo representar funciones fácilmenteCómo representar funciones fácilmente

Espero que te haya gustado este artículo sobre Valor absoluto de un número. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Justo Fernández

Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

Quiero aprender más sobre:

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Tu puntuación: Útil

Subir

| Copyright © 2015-2026 Soy Matemáticas|