volumen del cilindro

Área y Volumen del Cilindro: Fórmulas y Ejercicios

Leyendo este artículo de geometría aprenderás todo lo relativo al área y volumen del cilindro. Entenderás todos los conceptos clave de forma sencilla. Descubre cómo calcular estas magnitudes de manera práctica y aplica este conocimiento en situaciones del mundo real. Con ejemplos resueltos y todas las fórmulas necesarias.

🔎 Índice
  1. ¿Qué es un cilindro?
  2. Fórmulas del cilindro
  3. Geometría del cilindro. Ejemplos y ejercicios prácticos

¿Qué es un cilindro?

Un cilindro es una figura geométrica tridimensional que se caracteriza por tener una base circular y una superficie lateral curva que conecta las bases. Su forma se asemeja a un tubo o a un bote de conservas. Los cilindros son muy comunes en nuestro entorno, ya que se pueden encontrar en objetos como latas de refresco, velas o rollos de papel.

Definición y características del cilindro

El cilindro se define como un sólido de revolución generado por una recta que se mueve paralelamente a sí misma en un plano fijo, manteniendo siempre una distancia constante. Un cilindro está compuesto por dos bases iguales y paralelas, que son círculos, y una superficie lateral formada por una lámina curva. Además, todas las generatrices que conectan las bases tienen la misma longitud, lo que equivale a la altura del cilindro.

área y volumen de un cilindro
Cilindro: Sólido de revolución

Partes de un cilindro

Un cilindro consta de varias partes fundamentales:

  • Base: Es el círculo que delimita la superficie plana inferior y superior del cilindro.
  • Altura: Es la distancia entre las bases del cilindro.
  • Radio: Es la distancia desde el centro de una base hasta cualquier punto de su circunferencia.
  • Generatriz: Es la línea recta que conecta dos puntos exteriores de las dos circunferencias.
  • Superficie lateral: Es la superficie curva que conecta las bases y que envuelve el cilindro.

Tipos de cilindros

Existen dos tipos de cilindros, según las características de sus bases:

  • Cilindro recto: Tiene bases perfectamente paralelas y sus generatrices son perpendiculares a las bases.
  • Cilindro oblicuo: Sus bases no son paralelas y las generatrices no son perpendiculares a las bases.
Tipos de cilindros
Fuente: Wikipedia

Fórmulas del cilindro

En este apartado verás las fórmulas más importantes del cilindro, como el área de la base, la superficie lateral, el área total y el volumen.

Área de la base del cilindro

En el cálculo del área de la base de un cilindro, se emplea la fórmula del área de un círculo, dada por \(A = \pi r^2\), donde \(A\) representa el área y \(r\) es el radio de la base circular.

Superficie lateral del cilindro

La superficie lateral del cilindro se obtiene multiplicando la altura del cilindro por la circunferencia de la base. La fórmula para calcular la superficie lateral es \(L = 2\pi rh\), donde \(L\) representa la superficie lateral, \(r\) es el radio de la base circular y \(h\) es la altura del cilindro.

Área total del cilindro

El área total de un cilindro se calcula sumando el área de las dos bases y la superficie lateral. La fórmula para el área total es \(A = 2\pi r^2 + 2\pi rh\), donde \(A\) representa el área total, \(r\) es el radio de la base circular y \(h\) es la altura del cilindro.

Volumen del cilindro

El volumen de un cilindro se obtiene multiplicando el área de la base por la altura del cilindro. La fórmula para calcular el volumen es \(V = \pi r^2 h\), donde \(V\) representa el volumen, \(r\) es el radio de la base circular y \(h\) es la altura del cilindro.

Aquí tienes las fórmulas del cilindro más importantes resumidas en una tabla:

FórmulaDescripción
\(V = \pi r^2 h\)Volumen del cilindro: donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
\(A = 2 \pi r (r + h)\)Área de la base del cilindro:  siendo \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
\(A = 2 \pi r h\)Área de la superficie lateral del cilindro: donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
\(A = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h\)Área total de la superficie del cilindro: donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.
\(d^2 = 4 r^2 + h^2\)Diámetro del cilindro: donde \(r\) es el radio de la base y \(h\) es la altura del cilindro.

Geometría del cilindro. Ejemplos y ejercicios prácticos

En esta sección verás varios ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar las fórmulas del cilindro y reforzar los conocimientos adquiridos. A continuación, te muestro algunos ejercicios para calcular el área y el volumen de un cilindro:

Calculando el área y volumen de un cilindro

1. Ejemplo: Calcular el área y el volumen de un cilindro cuyas dimensiones son:

  • Radio de la base: 4 cm
  • Altura: 10 cm

Para calcular el área de la base, utilizamos la fórmula del área del círculo: \(A = \pi r^2\). Sustituyendo los valores en la fórmula:

\(A = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \, \text{cm}^2\)

Para calcular el volumen, utilizamos la fórmula del volumen del cilindro: \(V = A \cdot h\). Sustituyendo los valores:

\(V = 16\pi \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm} = 160\pi \, \text{cm}^3\)

2. Ejemplo: Calcular el área y el volumen de un cilindro con las siguientes dimensiones:

  • Radio de la base: 6 cm
  • Altura: 15 cm

Usando la fórmula del área de la base, se tiene:

\[ A = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2 \]

Para calcular el volumen, aplicamos la fórmula del volumen del cilindro:

\[ V = 36\pi \, \text{cm}^2 \cdot 15 \, \text{cm} = 540\pi \, \text{cm}^3 \]

volumen del cilindro

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Resolviendo problemas de aplicación

Ahora vamos a resolver problemas de aplicación que requieren el uso de las fórmulas del cilindro para su resolución. Te muestro un ejemplo:

Ejemplo: Un cilindro de un perfume tiene una altura de 12 cm y un volumen de 500 cm³. Calcula el radio de la base del cilindro. No subestimes nunca la importancia del número PI

Para resolver este problema, utilizamos la fórmula del volumen del cilindro:

\[ V = \pi r^2 h \]

Sustituyendo los valores conocidos:

\[ 500 \, \text{cm}^3 = \pi r^2 \cdot 12 \, \text{cm} \]

Despejando la incógnita \(r^2\):

\[ r^2 = \frac{500 \, \text{cm}^3}{\pi \cdot 12 \, \text{cm}} \]

\[ r^2 \approx 13.42 \, \text{cm}^2 \]

Calculando el valor de \(r\):

\[ r \approx \sqrt{13.42 \, \text{cm}^2} \approx 3.66 \, \text{cm} \]

Ejercicios para practicar las fórmulas del cilindro

¿Todo claro? A ver si eres capaz de resolver los siguientes ejercicios, sin ver la resolución. Es importante practicar para asimilarlo todo sobre el cálculo del área y el volumen de cilindros.

  1. Un cilindro tiene un radio de la base de 8 cm y una altura de 20 cm. Calcula su área y volumen.
  2. Encuentra el área de la base y el volumen de un cilindro con radio de 5 cm y altura de 12 cm.
  3. Un cilindro tiene un volumen de 1000 cm³ y altura de 10 cm. Calcula el radio de la base.

Un cilindro tiene un radio de la base de 8 cm y una altura de 20 cm. Calcula su área y volumen.

\[ A = \pi \cdot (8 \, \text{cm})^2 = 64\pi \, \text{cm}^2 \]

\[ V = \pi \cdot (8 \, \text{cm})^2 \cdot 20 \, \text{cm} = 1280\pi \, \text{cm}^3 \]

Encuentra el área de la base y el volumen de un cilindro con radio de 5 cm y altura de 12 cm.

\[ A = \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \]

\[ V = \pi \cdot (5 \, \text{cm})^2 \cdot 12 \, \text{cm} = 300\pi \, \text{cm}^3 \]

Un cilindro tiene un volumen de 1000 cm³ y altura de 10 cm. Calcula el radio de la base.

\[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}} = \sqrt{\frac{1000}{\pi \cdot 10}} \approx \sqrt{31.83} \approx 5.64 \, \text{cm} \]

Recuerda utilizar las fórmulas correspondientes para cada cálculo y prestar atención a las unidades de medida. ¿Cuántos has acertado?

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