Derivadas trigonométricas: tabla, fórmulas y ejemplos ✨

hace 4 meses · Actualizado hace 4 meses

Las derivadas trigonométricas son bastante predecibles. En esta guía lo entenderás todo y podrás practicar con ejercicios interactivos.

🔍 ¿Qué son las derivadas trigonométricas?

Las derivadas trigonométricas son las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, junto con sus seis funciones inversas. Son indispensables en el currículum de Bachillerato y aparecen constantemente en los exámenes de EBAU/Selectividad.

Para estas derivadas debes memorizar una tabla de fórmulas. La buena noticia: con solo 2 fórmulas base (la derivada del seno y la del coseno) puedes deducir todas las demás, porque tangente, cotangente, secante y cosecante se expresan en términos de seno y coseno.

💡 ¿Por qué aparecen tanto en selectividad?

Las funciones trigonométricas modelan movimiento oscilatorio (péndulos, corriente alterna, ondas de sonido y luz). Cuando se estudian estas aplicaciones, las derivadas son la herramienta para calcular velocidades, aceleraciones y pendientes. Por eso están presentes en física y economía.

🔗 La regla de la cadena. No la rompas

Antes de ver cada fórmula individual, necesitas dominar un principio que aplica a todas las derivadas trigonométricas sin excepción: la regla de la cadena.

Cuando el argumento de la función trigonométrica no es simplemente \(x\) sino una función \(f(x)\), el resultado se multiplica por \(f'(x)\):

\[
\left(T\!\left(f(x)\right)\right)' = f'(x) \cdot T'\!\left(f(x)\right)
\]

donde \(T\) es cualquier función trigonométrica y \(T'\) su derivada

✅ Interior simple (solo x)

No hay cadena: la derivada es directamente la fórmula. Ejemplo: \((\sin x)' = \cos x\)

✅ Interior compuesto

Aplica la cadena: multiplica por la derivada del interior. Ejemplo: \((\sin 3x)' = 3\cos(3x)\)

🎯
Regla de oro: Antes de derivar cualquier función trigonométrica, pregúntate: ¿Qué hay dentro? Si hay algo más que una \(x\) sola, multiplica por la derivada de ese interior. Es un error frecuente. ¡Ten cuidado!

📚 Las 6 derivadas trigonométricas básicas

Estas son las seis fórmulas que debes memorizar bien. Las dos primeras son las más importantes; las cuatro restantes se pueden deducir de ellas.

🔵Seno

\( (\sin x)' = \cos x \)

Con cadena: \( f'(x)\cdot\cos(f(x)) \)

🟢Coseno

\( (\cos x)' = -\sin x \)

Con cadena: \( -f'(x)\cdot\sin(f(x)) \)

🟠Tangente

\( (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} \)

Con cadena: \( \dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} \)

🟣Cotangente

\( (\cot x)' = \dfrac{-1}{\sin^2 x} \)

Con cadena: \( \dfrac{-f'(x)}{\sin^2(f(x))} \)

🔴Secante

\( (\sec x)' = \sec x\tan x \)

Con cadena: \( f'(x)\cdot\sec(f(x))\tan(f(x)) \)

🩵Cosecante

\( (\csc x)' = -\csc x\cot x \)

Con cadena: \( -f'(x)\cdot\csc(f(x))\cot(f(x)) \)

derivadas trigonométricas

¿Cómo se deducen cotangente, secante y cosecante?

Solo necesitas saber derivar seno y coseno, más la regla del cociente:

🧮 Deducción de las 4 fórmulas restantes

Tangente (seno entre coseno + regla del cociente):
\[
(\tan x)' = \left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)' = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}
\]Cotangente (coseno entre seno):
\[
(\cot x)' = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)' = \dfrac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x}
\]Secante (inverso de coseno):
\[
(\sec x)' = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)' = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos x}\cdot\dfrac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x
\]Cosecante (inverso de seno):
\[
(\csc x)' = \left(\dfrac{1}{\sin x}\right)' = \dfrac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\csc x\cot x
\]

🏆
Truco de memoria para secante y cosecante: Ambas llevan el mismo nombre en su derivada más otra función. La secante se queda: \(\sec x \cdot \tan x\). La cosecante se queda con signo negativo: \(-\csc x \cdot \cot x\). La cotangente es como la tangente pero negativa y con seno en el denominador.

🔄 Las 6 derivadas trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante y arcocosecante) tienen derivadas que involucran raíces cuadradas y polinomios. Aunque parecen complicadas, siguen siempre el mismo patrón.

arcoseno

\[
(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\]

Dominio: \(|x|<1\)

arcocoseno

\[
(\arccos x)' = \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
\]

Dominio: \(|x|<1\) · igual que arcsin pero con signo −

arcotangente

\[
(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}
\]

Dominio: \(\mathbb{R}\) (todos los reales)

arcocotangente

\[
(\text{arccot}\, x)' = \dfrac{-1}{1+x^2}
\]

Igual que arctan pero con signo −

📌 Patrón fácil de las inversas más comunes

Las cuatro inversas principales siguen dos patrones muy claros:

arcsin y arccos: llevan \(\sqrt{1-x^2}\) en el denominador. El arcsin tiene signo + y el arccos signo −.
arctan y arccot: llevan \(1+x^2\) en el denominador. La arctan tiene signo + y la arccot signo −.

Con función compuesta (regla de la cadena):
\[ (\arcsin f(x))' = \dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}} \qquad (\arctan f(x))' = \dfrac{f'(x)}{1+[f(x)]^2} \]

⚠️
¡Ojo! En España, en el currículo de Bachillerato se trabajan principalmente arcsin, arccos y arctan. Arccot, arcsec y arccsc son menos frecuentes y rara vez aparecen en selectividad. Centra tu energía en las tres primeras.

📊 Tabla resumen completa

Aquí tienes todas las fórmulas en una sola tabla. Imprímela, pégala en tu cuaderno o apréndetela de memoria: es tu herramienta más valiosa.

Funciones trigonométricas básicas

Función	Derivada simple	Con regla de la cadena (f(x) en el interior)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(f'(x)\cdot\cos(f(x))\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(-f'(x)\cdot\sin(f(x))\)
\(\tan x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)	\(\dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\)
\(\cot x\)	\(\dfrac{-1}{\sin^2 x}\)	\(\dfrac{-f'(x)}{\sin^2(f(x))}\)
\(\sec x\)	\(\sec x\tan x\)	\(f'(x)\cdot\sec(f(x))\tan(f(x))\)
\(\csc x\)	\(-\csc x\cot x\)	\(-f'(x)\cdot\csc(f(x))\cot(f(x))\)

Funciones trigonométricas inversas

Función	Derivada simple	Con regla de la cadena
\(\arcsin x\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\)
\(\arccos x\)	\(\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\dfrac{-f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\)
\(\arctan x\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)	\(\dfrac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}\)
\(\text{arccot}\,x\)	\(\dfrac{-1}{1+x^2}\)	\(\dfrac{-f'(x)}{1+[f(x)]^2}\)

⚙️ Método paso a paso para cualquier ejercicio

Sigue siempre este proceso antes de escribir ni una sola derivada:

Identifica la función trigonométrica: ¿Es seno, coseno, tangente…? ¿O una inversa (arcsin, arctan…)?

Mira el interior: ¿Qué hay dentro de la función? Si es solo \(x\) → caso simple. Si es otra función → regla de la cadena.

Detecta operaciones adicionales: ¿Hay un producto? → regla del producto. ¿Un cociente? → regla del cociente. ¿Una potencia exterior? → regla de la potencia primero.

Aplica la fórmula correspondiente: Escribe la derivada de la función exterior evaluada en el interior.

Multiplica por la derivada del interior: Si hay composición, multiplica por \(f'(x)\).

Simplifica: Busca factores comunes, identidades trigonométricas y simplifica al máximo.

🗺️ Árbol de decisión rápido

¿Qué tipo de ejercicio es?

Solo trig básica sin composición → aplica la fórmula directamente
Trig con función dentro → fórmula × derivada del interior (cadena)
Trig elevada a potencia → potencia primero, luego cadena con la trig
Producto de trig con otra función → regla del producto
Cociente con trig → regla del cociente
Composición de varias capas → cadena repetida, capa por capa

🎯 Ejercicios resueltos interactivos

Haz clic en la cabecera de color para abrir cada ficha. Luego pulsa el botón para ver la solución completa paso a paso. ¡Intenta resolverlos tú primero! 💪

01
Derivada de cos(x) y de cos(f(x))
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \cos(4x - 1)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Función exterior: coseno. Fórmula: \((\cos u)' = -\sin u\)

②
Identificar el interior: \(u = 4x-1\)

③
Derivar el interior: \((4x-1)' = 4\)

④
Aplicar la regla de la cadena: \(-\sin(4x-1) \cdot 4\)

✅ \(f'(x) = -4\sin(4x-1)\)

02
Derivada de la tangente con cadena
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \tan(x^2 + 1)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Función exterior: tangente. Fórmula: \((\tan u)' = \dfrac{1}{\cos^2 u}\)

②
Interior: \(u = x^2+1\)

③
Derivar el interior: \((x^2+1)' = 2x\)

④
Cadena: \(\dfrac{1}{\cos^2(x^2+1)} \cdot 2x\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{2x}{\cos^2(x^2+1)}\)

03
Potencia de seno: sin³(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin^3(x)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Estructura: \([\sin x]^3\). Hay dos capas: potencia cúbica exterior y seno interior.

②
Potencia primero: \((u^3)' = 3u^2 \cdot u'\) con \(u = \sin x\)

③
Derivada del seno: \(u' = \cos x\)

④
Multiplica: \(3\sin^2(x) \cdot \cos(x)\)

✅ \(f'(x) = 3\sin^2(x)\cos(x)\)

04
Producto: sin(x) · cos(x)
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(x)\cdot\cos(x)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Hay un producto: \((uv)' = u'v + uv'\) con \(u=\sin x\), \(v=\cos x\)

②
Deriva \(u\): \(u' = \cos x\)

③
Deriva \(v\): \(v' = -\sin x\)

④
Aplica la regla del producto:
\(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x\)

⑤
Identidad doble ángulo:
\(\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)\)

✅ \(f'(x) = \cos(2x)\)

05
Derivada del arcoseno
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \arcsin(3x)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Función: arcoseno. Fórmula: \((\arcsin u)' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\)

②
Interior: \(u = 3x\)

③
Derivada del interior: \((3x)' = 3\)

④
Sustituye: \(\dfrac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}\)

06
Derivada de arctan con polinomio interior AVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \arctan(x^2)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Función: arcotangente. Fórmula: \((\arctan u)' = \dfrac{u'}{1+u^2}\)

②
Interior: \(u = x^2\)

③
Derivada del interior: \((x^2)' = 2x\)

④
Sustituye: \(\dfrac{2x}{1+(x^2)^2} = \dfrac{2x}{1+x^4}\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{2x}{1+x^4}\)

07
Cotangente — función menos conocida SELECTIVIDAD
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \cot(5x)\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Función: cotangente. Fórmula: \((\cot u)' = \dfrac{-1}{\sin^2 u}\)

②
Interior: \(u = 5x\)

③
Derivada del interior: \((5x)' = 5\)

④
Cadena: \(\dfrac{-1}{\sin^2(5x)} \cdot 5\)

✅ \(f'(x) = \dfrac{-5}{\sin^2(5x)}\)

08
Composición múltiple: sin(cos(x)) AVANZADO
►

📝 Calcula la derivada de: \(f(x) = \sin(\cos(x))\)

👁️ Ver / Ocultar solución paso a paso

①
Exterior: seno. Interior: \(\cos x\). Son dos capas anidadas.

②
Derivar la capa exterior (seno): \((\sin u)' = \cos u\) evaluado en \(u = \cos x\) → \(\cos(\cos x)\)

③
Derivar la capa interior (coseno): \((\cos x)' = -\sin x\)

④
Multiplica (regla de la cadena): \(\cos(\cos x) \cdot (-\sin x)\)

✅ \(f'(x) = -\sin(x) \cdot \cos(\cos x)\)

🚫 Errores más frecuentes

Estos son los fallos que más penalizan en los exámenes. Léelos con atención:

❌

Error 1 — Confundir la derivada del coseno con la del seno
Incorrecto: \((\cos x)' = \cos x\) o \((\cos x)' = \sin x\)
Correcto: \((\cos x)' = -\sin x\) (con signo negativo)
👉 El seno se deriva sin cambio de signo → coseno. El coseno SÍ cambia de signo → −seno.

❌

Error 2 — Olvidar la regla de la cadena
Incorrecto: \((\sin(x^2))' = \cos(x^2)\)
Correcto: \((\sin(x^2))' = 2x\cos(x^2)\)
👉 Siempre que haya algo más que "x" dentro de la función trigonométrica, multiplica por la derivada del interior.

❌

Error 3 — Derivar \(\sin^2 x\) incorrectamente
Incorrecto: \((\sin^2 x)' = \cos^2 x\) o bien \((\sin^2 x)' = 2\cos x\)
Correcto: \((\sin^2 x)' = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\)
👉 La potencia va fuera. Aplica la regla de la potencia: baja el 2, queda sin(x) con exponente 1, multiplica por la derivada del seno que es cos(x).

❌

Error 4 — Confundir arcsin con sin en la fórmula de la derivada
Incorrecto: \((\arcsin x)' = \cos x\)
Correcto: \((\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
👉 La derivada de la función inversa no tiene nada que ver con la función original. Son fórmulas completamente distintas que hay que memorizar por separado.

❌

Error 5 — Perderse con la cotangente
Incorrecto: \((\cot x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) (confundir con la tangente)
Correcto: \((\cot x)' = \dfrac{-1}{\sin^2 x}\) (seno en denominador y signo negativo)
👉 Recuerda: cotangente es "como la tangente pero al revés": seno en el denominador en vez de coseno, y con signo negativo.

❓ Preguntas frecuentes

¿Cuántas derivadas trigonométricas hay que memorizar para selectividad? ▼

Para selectividad en España es imprescindible dominar las 3 básicas más importantes: \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\) y \((\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\). También es muy frecuente \((\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}\) y \((\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\). Cotangente, secante y cosecante son menos habituales pero pueden aparecer.

¿Cuál es la diferencia entre \(\sin^2 x\) y \(\sin(x^2)\)? ▼

Son funciones completamente distintas con derivadas distintas:\(\sin^2 x = [\sin x]^2\): potencia exterior → aplica regla de la potencia + cadena → \(2\sin x\cos x = \sin(2x)\)

\(\sin(x^2)\): argumento cuadrático → aplica regla de la cadena → \(2x\cos(x^2)\)

Fíjate siempre dónde está el exponente antes de derivar.

¿Por qué la derivada del coseno lleva signo negativo y la del seno no? ▼

Es una consecuencia directa de la demostración mediante límites. Geométricamente: cuando el coseno decrece (en \([0, \pi]\)), su pendiente es negativa → la derivada \(-\sin x\) es negativa. El seno en cambio crece al principio y su pendiente es positiva → la derivada \(\cos x\) es positiva al inicio. Los signos reflejan exactamente el comportamiento de las curvas.

¿Cómo derivo una potencia de una función trigonométrica, por ejemplo cos⁴(x)? ▼

Aplica la regla de la potencia combinada con la regla de la cadena:\((\cos^4 x)' = 4\cos^3(x) \cdot (\cos x)' = 4\cos^3(x) \cdot (-\sin x) = -4\cos^3(x)\sin(x)\)

El proceso es siempre: baja el exponente, reduce en 1, multiplica por la derivada de la función interior (en este caso, la derivada del coseno).

¿Se puede simplificar la derivada de sin(x)·cos(x) con identidades trigonométricas? ▼

Sí, y es muy recomendable hacerlo. La derivada de \(\sin x \cdot \cos x\) es \(\cos^2 x - \sin^2 x\). Usando la identidad de doble ángulo \(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x\), la expresión se simplifica a \(\cos(2x)\). En los exámenes se valora simplificar usando identidades trigonométricas.

📝 Resumen: lo que debes recordar siempre

✅ Las 7 claves de las derivadas trigonométricas

\((\sin x)' = \cos x\) · \((\cos x)' = -\sin x\) — las dos más importantes, sin excusas
\((\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) — tercera en importancia, muy frecuente en selectividad
\((\cot x)' = \dfrac{-1}{\sin^2 x}\) — igual que la tangente pero con seno y signo negativo
Secante: \((\sec x)' = \sec x\tan x\) · Cosecante: \((\csc x)' = -\csc x\cot x\)
Inversas: \((\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) · \((\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}\)
Siempre que haya composición → regla de la cadena (multiplica por la derivada del interior)
Para simplificar: usa las identidades trigonométricas (\(\sin^2+\cos^2=1\), doble ángulo…)

🚀 ¿Quieres dominar cada función por separado?

Consulta nuestros artículos específicos: Derivada del seno, Derivada del coseno, Derivada de la tangente y Aplicaciones de la derivada. La práctica constante es el único camino hacia el 10. 🏆

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...