Teorema de Pick. Cómo calcular el área de un polígono sin medir nada

Parece una temeridad la pregunta que te acabo de formular, pero pronto comprobarás que es cierto lo que propongo; eso sí, bajo unas determinadas condiciones.

Antes de seguir leyendo, ¿se te ocurre algo para calcular el área de este polígono? ¿Qué nos hace falta, qué necesitamos tener?

Matemáticas para pensar.Teorema de Pick

Este es el objetivo principal al enseñar matemáticas, hacer pensar al alumno. Plantearse preguntas es una de las mejores maneras de aprender. La otra es jugando, ¡hay que jugar con las matemáticas!

La verdad es que hacen falta varias cosas. Necesitamos un papel cuadriculado y que los vértices de nuestro polígono coincidan con las esquinas de los cuadrados, es decir, que tengan coordenadas enteras. Esto nos puede valer. Ya estás más cerca de conocer el teorema de Pick.

¿Puedes calcular el área ahora? Considera que el lado de los cuadrados vale 1. ¿Nos puede servir partiéndolo en triángulos? Todavía no parece nada fácil, ¿verdad?

Voy a dibujarte lo último que debes tener en cuenta. Los puntos que están dentro del área del polígono y los vértices.

Mosquis! ¿Para qué me sirve saber esto? Para calcular el área de cualquier polígono cerrado (sin agujeros).

Cuentas el número de puntos que hay dentro del polígono → X

Cuentas el número de puntos situados en el borde → Y

Entonces el área, medida en unidades de cuadrícula siempre será:

\(mathbf{A= X + frac{Y}{2}-1}\)

Ahora si que puedes comprobar que el área del polígono anterior es de 5,5 unidades.

\(mathbf{A= 3 + frac{7}{2}-1=5'5}\)

Practicando se aprende

Ahora te toca a ti. Puedes practicar con los siguientes dibujos. Recuerda que el lado del cuadrado vale uno ¿Cúal de los dos tiene mayor área? 

Lo que acabo de contarte, se fundamenta en el teorema de Pick. Se trata de una curiosidad geométrica sorprendente. Como acabas de ver, de forma muy sencilla puedes calcular el área de un determinado polígono que cumpla ciertas condiciones.

En este contexto, te invitamos a ver un video que explica en detalle el Teorema de Pick y cómo puedes calcular el área de un polígono sin necesidad de medir nada.

Teorema de Pick

El Teorema de Pick es un resultado geométrico que relaciona el área de un polígono en el plano cartesiano con el número de puntos con coordenadas enteras que se encuentran en su interior y en su borde. Formalmente, si \(A\) es el área del polígono y \(B\) es el número de puntos con coordenadas enteras en su interior, y \(C\) es el número de puntos con coordenadas enteras en su borde, entonces el teorema establece que:
\(A = B + frac{C}{2} - 1\)
Este teorema es útil para calcular áreas de polígonos con vértices en puntos con coordenadas enteras, utilizando simplemente la cuenta de puntos interiores y en el borde. Es una herramienta interesante en geometría computacional y teoría de números.

Esta verdad eterna se la debemos al matemático austriaco Georg Alexander Pick, que la demostró en 1899, a las puertas del siglo XX. Fue después de su muerte, cuando esta joya atrajo la atención y admiración de los matemáticos por su simplicidad y elegancia.

El teorema de Pick se puede demostrar por inducción matemática. También hay una generalización para calcular el área de un polígono con agujeros. Si quieres profundizar en el tema, puedes ver la fuente.

Con este pequeño artículo solo pretendía hacerte ver la importancia de razonar y hacerte preguntas cuando estudies matemáticas. No te centres en hacer cálculos repetitivos. En un próximo artículo te hablaré sobre la importancia de la resolución de problemas.

Espero que te haya gustado el teorema de Pick. Por cierto, ¿qué dibujo tiene el área más grande, el del fantasma o el del caballo?

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