Fórmula de Moivre: demostración y ejemplos ✨

hace 4 días · Actualizado hace 2 horas

🔎 Índice de contenidos

¿Qué es la fórmula de Moivre? 🤔
Por qué funciona: la idea detrás de la fórmula 🔍
Raíces n-ésimas: la otra cara de Moivre 🎯
Ejercicios resueltos con la fórmula de Moivre 💪
Tabla resumen de la fórmula de Moivre 📋

📘 2º de Bachillerato

Fórmula de Moivre: qué es, cómo se aplica y ejercicios resueltos

Elevar un número complejo a la potencia 10 parece una pesadilla si lo haces multiplicando una y otra vez. Yo te voy a enseñar el atajo que descubrió Abraham de Moivre: convertir esa potencia en dos simples operaciones. Vas a flipar con lo fácil que es 🌀

z = r(cos θ + i sen θ)

→

z^n = r^n(cos nθ + i sen nθ)

⚡ Respuesta rápida

La fórmula de Moivre permite elevar a una potencia \(n\) un número complejo en forma trigonométrica (o polar) de manera directa, sin multiplicar el número por sí mismo \(n\) veces:

\[ \left[r(\cos\theta+i\,\text{sen}\,\theta)\right]^n = r^n\left(\cos(n\theta)+i\,\text{sen}(n\theta)\right) \]

Yo la resumo así: el módulo se eleva a n, y el ángulo se multiplica por n. Así de simple.

¿Qué es la fórmula de Moivre? 🤔

Te confieso que, la primera vez que tuve que calcular \(z^5\) de un número complejo multiplicando "a mano", me llevó media página y varios errores de signos. La fórmula de Moivre me salvó de eso para siempre.

Recuerda que cualquier número complejo se puede escribir en forma trigonométrica como \(z=r(\cos\theta+i\,\text{sen}\,\theta)\), donde \(r\) es el módulo (la distancia al origen) y \(\theta\) es el argumento (el ángulo que forma con el eje real). La fórmula de Moivre dice que, para elevar \(z\) a una potencia \(n\), solo tienes que hacer dos cosas sencillas con \(r\) y \(\theta\). Es una relación elegante entre los números complejos y la trigonometría

Plano complejo mostrando el numero z con modulo 2 y angulo 60 grados, y su cubo z al cubo con modulo 8 y angulo 180 grados, ilustrando que al elevar al cubo el modulo se eleva a la potencia 3 y el angulo se multiplica por 3

💡 Ejemplo que me convenció para siempre

Con \(z=2(\cos 60^\circ+i\,\text{sen}\,60^\circ)\), calcular \(z^3\) "a mano" implicaría multiplicar \(z\times z\times z\) desarrollando paréntesis con \(i^2=-1\). Con Moivre, en cambio: \(r^3=2^3=8\) y \(3\theta=180^\circ\), así que \(z^3=8(\cos180^\circ+i\,\text{sen}\,180^\circ)=-8\). Dos pasos, cero errores.

Por qué funciona: la idea detrás de la fórmula 🔍

Yo entendí de verdad la fórmula cuando pensé en la multiplicación de complejos en forma trigonométrica: cuando multiplicas dos números complejos, sus módulos se multiplican y sus argumentos se suman.

Si multiplicas \(z\times z\), el módulo se multiplica por sí mismo (\(r\times r=r^2\)) y el ángulo se suma consigo mismo (\(\theta+\theta=2\theta\)).

Si repites esto \(n\) veces (multiplicar \(z\) por sí mismo \(n\) veces, que es justo \(z^n\)), el módulo queda \(r^n\) y el ángulo queda \(n\theta\).

Por eso: \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\,n\theta)\).

💡 Truco mental

Piensa en cada potencia como "girar y estirar": cada vez que multiplicas por \(z\), giras \(\theta\) grados más y estiras el módulo un factor \(r\). Elevar a \(n\) es repetir ese giro y ese estiramiento \(n\) veces.

Raíces n-ésimas: la otra cara de Moivre 🎯

Si Moivre me sirve para las potencias, también me sirve al revés: para calcular raíces de números complejos. Y aquí viene una sorpresa que a mí me encantó descubrir: todo número complejo (salvo el 0) tiene exactamente \(n\) raíces n-ésimas distintas.

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+360^\circ k}{n}+i\,\text{sen}\,\frac{\theta+360^\circ k}{n}\right), \quad k=0,1,2,\dots,n-1 \]

Plano complejo mostrando las tres raices cubicas del numero -8 distribuidas de forma simetrica sobre una circunferencia de radio 2, separadas exactamente 120 grados entre si, en los angulos 60, 180 y 300 grados

⚠️ No olvides el "+360°k"

Este es el error que más veces he visto en mis alumnos: calculan solo la raíz con \(k=0\) y se olvidan de las demás. Recuerda que hay que repetir el cálculo para \(k=0,1,\dots,n-1\), y todas las raíces están separadas por el mismo ángulo: \(360^\circ/n\).

Ejercicios resueltos con la fórmula de Moivre 💪

Practica conmigo. Lee cada enunciado, aplica la fórmula y comprueba tu resultado antes de hacer clic.

🟢 Básico

Ejercicio 1. Calcula \( \left[2(\cos60^\circ+i\,\text{sen}\,60^\circ)\right]^3 \).

r=2, θ=60°, n=3

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Paso 1: Elevamos el módulo: \( r^3=2^3=8 \).

Paso 2: Multiplicamos el ángulo: \( 3\times 60^\circ=180^\circ \).

✅ Resultado: 8(cos180° + i sen180°) = -8

🟢 Básico

Ejercicio 2. Calcula \( \left[3(\cos45^\circ+i\,\text{sen}\,45^\circ)\right]^4 \).

r=3, θ=45°, n=4

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Paso 1: \( r^4=3^4=81 \).

Paso 2: \( 4\times 45^\circ=180^\circ \).

✅ Resultado: 81(cos180° + i sen180°) = -81

🟡 Medio

Ejercicio 3. Calcula las 3 raíces cúbicas de \( z=8(\cos180^\circ+i\,\text{sen}\,180^\circ) \).

r=8, θ=180°, n=3

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Paso 1: Módulo de las raíces: \( \sqrt[3]{8}=2 \) (el mismo para las 3 raíces).

Paso 2: Ángulos: \( \dfrac{180^\circ+360^\circ k}{3} \) para \(k=0,1,2\).

Paso 3: \(k=0\): 60°. \(k=1\): \((180+360)/3=180^\circ\). \(k=2\): \((180+720)/3=300^\circ\).

✅ Resultado: 2(cos60°+isen60°), 2(cos180°+isen180°), 2(cos300°+isen300°)

🟡 Medio

Ejercicio 4. Escribe el número complejo \(z=1+i\) en forma trigonométrica y calcula \(z^8\) usando Moivre.

z = 1+i

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Paso 1: Módulo: \( r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). Argumento: \( \theta=45^\circ \) (porque parte real y parte imaginaria son iguales y positivas).

Paso 2: Forma trigonométrica: \( z=\sqrt{2}(\cos45^\circ+i\,\text{sen}\,45^\circ) \).

Paso 3: Aplicamos Moivre: \( r^8=(\sqrt{2})^8=2^4=16 \). Ángulo: \( 8\times45^\circ=360^\circ \) (equivalente a 0°).

✅ Resultado: z^8 = 16(cos0° + isen0°) = 16

🔴 Avanzado

Ejercicio 5. Calcula las 4 raíces cuartas de la unidad, es decir, de \(z=1(\cos0^\circ+i\,\text{sen}\,0^\circ)\).

r=1, θ=0°, n=4

👀 Ver solución paso a paso🙈 Ocultar solución

Paso 1: El módulo de todas las raíces es \( \sqrt[4]{1}=1 \).

Paso 2: Ángulos: \( \dfrac{0^\circ+360^\circ k}{4} \) para \(k=0,1,2,3\): 0°, 90°, 180°, 270°.

Paso 3: Traduciendo a forma binómica: \(1\), \(i\), \(-1\), \(-i\).

✅ Resultado: las 4 raíces son 1, i, -1, -i

Errores más comunes ⚠️

❌ Elevar el ángulo en vez de multiplicarlo
El módulo se eleva a n, pero el ángulo se MULTIPLICA por n, nunca se eleva a una potencia. Son operaciones distintas para cada componente.

❌ Olvidar las demás raíces al calcular raíces n-ésimas
Todo número complejo no nulo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas; calcular solo la de k=0 es quedarse a mitad de camino.

❌ Confundir grados y radianes
Comprueba siempre en qué unidad trabajas; mezclar grados con radianes en la misma fórmula da resultados incorrectos.

❌ No reducir el ángulo final a su equivalente entre 0° y 360°
Si el ángulo resultante supera 360° (o es negativo), hay que sumarle o restarle 360° las veces necesarias para dejarlo en su rango habitual.

❌ Aplicar Moivre a un número que no está en forma trigonométrica
Antes de usar la fórmula, hay que pasar el número complejo de forma binómica (a+bi) a forma trigonométrica calculando su módulo y su argumento.

Comprobación numérica 🧮

Verifica los resultados anteriores multiplicando el número complejo por sí mismo directamente:

Verificación del Ejercicio 1: z³ con Moivre vs. multiplicación directa

Método	Resultado
Multiplicación directa z×z×z	-8 + 0i
Fórmula de Moivre	-8 + 0i ✅

✅ Ambos métodos coinciden exactamente.

Verificación del Ejercicio 3: las 3 raíces elevadas al cubo dan -8

Raíz	Raíz³
2(cos60°+isen60°) = 1+1,73i	-8 ✅
2(cos180°+isen180°) = -2	-8 ✅
2(cos300°+isen300°) = 1-1,73i	-8 ✅

✅ Las tres raíces, al elevarlas al cubo, devuelven exactamente el número original -8, confirmando que son correctas.

Tabla resumen de la fórmula de Moivre 📋

Concepto	Fórmula
Forma trigonométrica	\( z=r(\cos\theta+i\,\text{sen}\,\theta) \)
Potencia (fórmula de Moivre)	\( z^n=r^n(\cos n\theta+i\,\text{sen}\,n\theta) \)
Raíz n-ésima	\( \sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+360^\circ k}{n}+i\,\text{sen}\,\frac{\theta+360^\circ k}{n}\right) \)
Número de raíces distintas	Exactamente n (para k=0,1,...,n-1)
Separación angular entre raíces	\( 360^\circ/n \)

Preguntas frecuentes ❓

¿Para qué sirve la fórmula de Moivre?

Sirve para calcular potencias y raíces de números complejos de forma mucho más rápida que multiplicando o factorizando directamente, especialmente con exponentes grandes.

¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo?

Exactamente n raíces distintas (si el número no es cero), todas con el mismo módulo y separadas por ángulos iguales de 360°/n.

¿La fórmula de Moivre funciona con ángulos en radianes?

Sí, funciona igual con radianes que con grados; solo hay que ser consistente y no mezclar ambas unidades en el mismo cálculo.

¿Se puede usar Moivre con números reales?

Sí, un número real es un caso particular de número complejo con argumento 0° o 180°; la fórmula sigue funcionando, aunque para números reales suele ser más directo elevar la potencia normalmente.

¿Quién fue Abraham de Moivre?

Fue un matemático francés (1667-1754) que trabajó en probabilidad y trigonometría, y que descubrió esta relación entre potencias de números complejos y multiplicación de ángulos.

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Justo Fernández

Profesor de matemáticas de secundaria y bachillerato. Desde principios de siglo disfruto enseñando matemáticas , y hace una década que escribo en internet, divulgando la belleza de las mates. Trabajo en el IES Álvaro Falomir de Almazora (Castellón). Nací en día, mes y año primo. Me gustan los números ...

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Fórmula de Moivre: potencias y raíces de números complejos

¿Qué es la fórmula de Moivre? 🤔

Por qué funciona: la idea detrás de la fórmula 🔍

Raíces n-ésimas: la otra cara de Moivre 🎯

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Errores más comunes ⚠️

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Tabla resumen de la fórmula de Moivre 📋

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