Cuestión de probabilidades

Así, a bote pronto, ¿cuántas personas crees que tienen que haber en un grupo de gente para que puedas decir que dos de ellas cumplen años el mismo día? Y que sea muy probable que aciertes.

?
??
🙂
Venga, di un número …!

 

Ahora podrás ver si te has quedado cerca. Te cuento:

 

Si se reúnen 23 personas hay una probabilidad del 50,7% de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día. ¿Cómo es posible?
Es muy habitual que la gente piense que la probabilidad es mucho más baja (cercana al cero pelotero), porque el año tiene 365 días y solo hay 23 personas. Pero volvamos a la pregunta inicial…

 

¡¡Wow!!

Si se reúnen 57 personas o más la probabilidad es mayor del 99% !!
Parece asombroso y difícil de creer. Por esta razón se dice que es una paradoja en el sentido de que es una verdad matemática que contradice a la intuición.
¿Te gusta apostar? Pues estás de enhorabuena, porque puedes pasar un buen rato y ganar algún dinerillo apostando sobre esto en cualquier reunión :-))
En esta tabla puedes hacerte una idea de cuando puedes apostar. Como en las cartas,los seguros o en tantas otras cosas, la probabilidad es fundamental.

tabla del problema del cumpleaños

Es probable que en tu clase o en tu trabajo dos personas cumplan años el mismo día, ¿verdad?

 

 

Unos cálculos que echan al traste nuestra intuición

Imagínate que estás en una clase de 23 alumnos.
Vamos a llamar A al suceso en el que hay dos niños con el mismo cumpleaños en la clase. La  probabilidad de que ocurra A= P(A).
Es decir:  P(A)=probabilidad de que en una clase de 23 alumnos, haya dos con el mismo día de cumpleaños.
Pero nos resultará más sencillo calcular la probabilidad contraria, es decir, la probabilidad de que no ocurra A.
Llamaremos  P(B)= probabilidad de que en una clase de 23 personas, todos tengan diferentes fechas de cumpleaños
Primero calculamos P(B), y después es muy sencillo obtener P(A),  porque  P(A)=1-P(B).

 

En la resolución de problemas  es una buena técnica y por partes e intentar simplificar el problema. ¿Qué ocurriría si en lugar de 23, solo hubiera 2 alumnos en la clase?  Tenemos que calcular la probabilidad de que el segundo alumno cumpla años otro día diferente. Por tanto P(B)= 364/365. Esto significa que le quedan 364 días favorables entre los 365 posibles para no cumplir el mismo día.
P(B)=\frac{364}{365}
Recuerda la ley de Laplace, que nos dice que la probabilidad de que suceda un evento es igual a

 

P=\frac{casos\ favorables}{casos\ posibles}

 

 

¿Y si hay 3 alumnos en clase? Entonces la probabilidad anterior habría que multiplicarla por 363/365, porque ésta es la probabilidad de que el tercer niño cumpla un día diferente a los dos anteriores.

 

P(B)=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}

 

¿Y si sois 4 gatos en clase?
P(B)=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365}

 

 tarta de cumpleaños
Ahora que ya has entendido este razonamiento, puedes seguir la secuencia hasta llegar a 23 alumnos. En estos casos, es muy útil utilizar una hoja Excel para los cálculos.
 
La probabilidad de que los 23 alumnos cumplan años en días diferentes, será:
P(B)=\frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \frac{362}{365}\cdot \frac{361}{365}\cdot\frac{360}{365} . . …..\cdot \frac{343}{365}
P(B)=0'493

 

Por tanto, tenemos que  P(A)= 1-P(B)= 0’507
Hemos comprobado matemáticamente que la probabilidad de que en una clase de 23 alumnos, 2 de ellos cumplan años el mismo día, P(A),es del 50,7%, mayor del 50%! Es decir, prácticamente la misma probabilidad de obtener cara al tirar una moneda al aire.
Ya lo ves, a veces la intuición nos juega malas pasadas.

 

Otra pregunta más fácil de responder

En un año no bisiesto, ¿cuántas personas deben reunirse para que asegurarnos al 100% que 2 personas cumplan años el mismo día?
Tienen que haber 366 personas. Así seguro que como mínimo una par de ellas, tendrán la misma fecha de cumpleaños.
Con 365 personas, no podemos estar completamente seguros. Esto es así por el principio del palomar. Si quieres saber de que va este principio, puedes verlo en este vídeo. Te lo explica uno de los mejores divulgadores de matemáticas que tenemos en la actualidad.

 

Ocupación

El problema del cumpleaños es un ejemplo de un problema de ocupación, donde los matemáticos piensan en términos de colocación de bolas en celdas. Tenemos 365 celdas (posibles cumpleaños) y tenemos que “colocar” al azar las bolas (personas) en las celdas.
La clave para entender la paradoja del cumpleaños es pensar que hay bastantes probabilidades de ocupar celdas con dos bolas (dos personas que cumplen años el mismo día).
Por cierto, es poco probable que cumplas años el mismo día que yo: el 17 de julio.  Pero si es así, me gustaría saberlo ;-))
Y si hoy es tu cumpleaños … Felicidades!!

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Un blog que pretende ayudarte con las matemáticas

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