En este artículo te quiero hablar del principio de Dirichlet, también conocido como el principio del palomar. Verás que es un principio muy sencillo y muy evidente, pero que demuestra curiosidades que nunca te habías planteado.

La lógica matemática está llena de grandes trivialidades matemáticas.

¿Sabías por ejemplo, que en cada instante hay al menos un lugar en el mundo donde no sopla el viento? Pues con el principio del palomar demuestra situaciones como ésta.

¡Vamos a ver en qué consiste!

El principio del palomar

El principio del palomar es una poderosa herramienta utilizada en matemáticas combinatorias. La idea de este principio es simple y se puede explicar con la siguiente situación:

Imagínate que tenemos 3 palomas y hay que colocarlas 2 casilleros. ¿Se puede hacer?

La respuesta es sí, pero hay un problema: Independientemente de cómo se coloquen las palomas, una de las casillas va a contener más de una paloma.

Es así de simple. Sin embargo, esta lógica puede generalizarse para situaciones más complejas.

En general, el principio del palomar establece que si se colocan más de n palomas en n casilleros, algunos casilleros deben contener más de una paloma. Si bien el principio es evidente, sus implicaciones son sorprendentes.

Este principio es útil para demostrar la existencia (o imposibilidad) de cualquier fenómeno en particular.

10 Curiosidades del principio del palomar en la vida real

1. Por cada frase de 28 palabras en cualquier texto en español, por lo menos dos palabras comenzarán con la misma letra.

El abecedario español tiene 27 letras, por tanto, si tenemos 28 palabras, al menos 2 palabras van a empezar con la misma letra.

2. En la ciudad de Nueva York, hay dos personas que no tienen la misma cantidad de pelos en la cabeza.

La cabeza humana puede contener hasta varios cientos de miles de pelos, con un máximo de unos 500.000 pelos. En comparación, hay millones de personas en Nueva York. En consecuencia, al menos dos de ellos deben compartir la misma cantidad de pelos en la cabeza.

3. Como mínimo, dos personas que lean este blog cumplen los años el mismo día.

Hay 366 posibles cumpleaños (incluyendo 29 de febrero en un año bisiesto) y este blog tiene más de 367 lectores. Por lo tanto, dos de vosotros habéis nacido el mismo día.

4. En un concierto con más de 800 personas, habrá dos personas que tendrán las mismas iniciales de su nombre y de su primer apellido.

Cada inicial puede tener una de las 27 letras del abecedario, lo que significa que hay 27 x 27 = 729 posibles combinaciones entre nombre y apellido. Si en un concierto hay más de 800 personas, consecuentemente, dos de ellas deben compartir las mismas iniciales de su nombre y de su primer apellido.

5. Si escoges cinco cartas de una baraja francesa estándar de 52 cartas, al menos dos serán del mismo palo.

Una baraja tiene 4 palos. Cada una de las cinco cartas puede pertenecer a uno de los cuatro palos, pero por el principio del palomar, dos o más deben pertenecer al mismo palo.

6. Si tienes 10 calcetines negros y 10 calcetines blancos y estás eligiendo calcetines al azar, sólo tendrás que elegir tres para encontrar un par que coincida.

De los tres calcetines, al menos dos serán del mismo color según el principio del palomar.

Otra forma de ver esto es pensando calcetín por calcetín. Si el color del segundo calcetín coincide con el primero, entonces hemos terminado. De lo contrario, los dos primeros calcetines ya cubren las dos poisibilidades de color y necesitas sacar un tercer calcetín, que debe ser de uno de esos colores y formará un par que coincida.

7. Si escoges cinco números enteros al azar, del 1 al 8, entonces dos de ellos deben sumar hasta 9.

Cada número puede ser emparejado con otro para sumar nueve. En total, hay cuatro pares de este tipo: los números 1 y 8,2 y 7,3 y 6, y por último, 4 y 5.

Cada uno de los cinco números pertenece a uno de esos cuatro pares. Por el principio del palomar, dos de los números deben ser del mismo par que sume  9.

8. En cualquier fiesta con dos o más personas, debe haber al menos dos personas que tengan el mismo número de amigos. (asumiendo ser amigo es algo recíproco, es decir, que si x es un amigo de y, entonces y es un amigo de x.)

Imagina que una fiesta tiene a “n” gente. Entonces cada persona puede ser amigo de cualquier persona desde 0 a n-1 personas.

Caso 1: todo el mundo tiene al menos un amigo

Si todos tienen al menos un amigo, entonces cada persona tiene entre 1 y 1 amigo. Cada uno de los asistentes a la fiesta puede ser clasificado como uno de los valores n-1, y por lo tanto dos de los asistentes deben tener el mismo valor, es decir, el mismo número de amigos, por el principio del palomar.

Caso 2: alguien no tiene amigos

Si a alguien le falta algún amigo, entonces esa persona es un extraño para todos los demás huéspedes. Debido a que el amigo es recíproco, el valor más alto que cualquier otro puede tener es n – 2, es decir, que sería amigo de todos excepto de la persona que no tiene amigos. Por lo tanto, cada uno tiene entre 0 y n – 2 amigos.

Este medio de los n fiesteros puede ser clasificado como uno de los valores n-1, y por lo tanto dos de los fiesteros deben tener el mismo valor, o número de amigos.

9. Imagina que estás tratando de cubrir un tablero de ajedrez con piezas de dominó cada una que cubra exactamente dos cuadrados. Si quita dos esquinas diagonalmente opuestas, será imposible cubrir el tablero de ajedrez.

10. En un grupo de seis personas, siempre habrá tres personas que sean amigos o extraños mutuos. (asumiendo otra vez que ser amigo es recíproco: si x es un amigo de y, entonces y es un amigo de x.)

El problema se puede pensar geométricamente. Imagina a las seis personas como puntos y deja que un borde entre los puntos indique la amistad. Independientemente de cómo se dibuje el gráfico, queremos mostrar que hay un conjunto de tres puntos que están todos conectados o un conjunto de tres puntos que no tienen bordes de conexión.

Considera cualquier punto en particular. Hay otros cinco puntos a los que podría conectarse. Según el principio del palomar, el punto está conectado a al menos otros tres puntos o no está conectado a al menos otros tres puntos.

Caso 1: el punto está conectado a (al menos) otros tres puntos

Si alguno de estos puntos está conectado entre sí, entonces hemos encontrado un triángulo de tres amigos mutuos. (Estos dos puntos están conectados, además de que ambos están conectados al punto original).

De lo contrario, eso significa que ninguno de estos tres puntos está conectado y por lo tanto son mutuamente extraños. Esto sería un conjunto de tres puntos sin aristas.

Caso 2: el punto no está conectado a (al menos) otros tres puntos

Si alguno de estos puntos no está conectado entre sí, entonces hemos encontrado un triángulo de tres mutuos extraños. (Estos dos puntos no están conectados, además de que ambos no están conectados al punto original).

De lo contrario, eso significa que todos estos tres puntos están conectados y por lo tanto son amigos mutuos. Esto sería un conjunto de tres puntos con todos los bordes de unión.

Te dejo ahora con este divertido vídeo sobre el principio del palomar:

¿Qué te parece el principio del palomar? ¿Tienes alguna situación que se pueda resolver con este principio? Déjala en los comentarios.

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Un blog que pretende ayudarte con las matemáticas

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