Hay algo fascinante en las paradojas matemáticas, porque te hacen cuestionar tu comprensión del mundo y de las propias matemáticas. A menudo son fáciles de entender, pero en bastantes ocasiones, son difíciles de explicar. Otras resultan desconcertantes. Las discrepancias entre lo que comúnmente creemos que es cierto y lo que se observa en realidad pueden ser frustrantes. Si quieres conocer algunos ejemplos de paradojas, estás en el lugar adecuado. Puede que te sorprenda lo que descubras.
Paradojas matemáticas
Una paradoja es un enunciado o problema que suele ir en contra de lo que esperamos intuitivamente. Las paradojas han sido un elemento central del pensamiento filosófico durante siglos, y siempre están dispuestas a desafiar nuestra interpretación de situaciones.
¿Qué es paradoja?
Es una afirmación que parece ser contradictoria, pero que en realidad no lo es.
En ocasiones pueden ser extremadamente confusas, pero también pueden ser muy interesantes. A menudo utilizan las leyes de la lógica para mostrarnos cómo las cosas están interconectadas de una forma que nunca habríamos creído posible. Esto puede conducir a nuevas formas de pensar sobre las cosas, e incluso puede ayudarnos a resolver problemas que nunca habríamos podido resolver antes.
Las paradojas matemáticas no son intuitivas. Son perlas dentro de la belleza de las mates, y han sido estudiadas por los matemáticos durante siglos.
He aquí diez de las paradojas matemáticas más sorprendentes. ¿Are you ready?
La paradoja del mentiroso
Es una de las paradojas más sencillas y famosas que existen. La afirmación «esta afirmación es falsa» es una paradoja, porque si esa afirmación es realmente una mentira, entonces estaría diciendo la verdad. Sin embargo, si la afirmación es cierta, se estaría contradiciendo la premisa de que la afirmación es mentira. Esta afirmación se contradice a sí misma e indica que la afirmación es a la vez verdadera y falsa. Es curioso, ¿verdad?
Desde hace siglos existen diferentes versiones de esta paradoja. Se le atribuye a Epiménides (600 a.C.), un filósofo cretense la frase «todos los cretenses son mentirosos». Esto significaría que, como cretense que es, Epiménides también es un mentiroso si esta frase fuera cierta. Sin embargo, si Epiménides está mintiendo cuando dijo esa afirmación, entonces los cretenses serían de fiar (pero esto significaría que Epiménides, un cretense, estaría mintiendo). Esto confirma de nuevo que los cretenses son mentirosos, con lo que la afirmación sería cierta y Epiménides no estaría mintiendo. El ciclo continúa. ¿Te sale humo de la cabeza?
La paradoja matemática del infinito de Galileo
En su última obra escrita, el genio italiano Galileo Galilei introdujo una de las paradojas matemáticas más conocidas. Trató su Paradoja del Infinito en su libro Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias (1638).
Consideremos que existen dos colecciones de números. Todos los números cuadrados, incluyendo 1, 4, 9, 16, 25, y así indefinidamente, están contenidos en un conjunto. El otro conjunto incluye números no cuadrados como 2, 3, 5, 6, 7, 8, etc. hasta el infinito. Estos dos conjuntos pueden combinarse para obtener un conjunto de números mayor que la suma de los dos conjuntos por separado. Sin duda, en total habrá menos cuadrados que números. Sin embargo, cada número positivo tiene exactamente un cuadrado, por lo que es imposible que un grupo de números positivos tenga más cifras que el otro.
Esta paradoja dejó a Galileo con la conclusión de que conceptos como más, menos e igual sólo se aplican a conjuntos finitos de números. No se aplican a conjuntos infinitos. Trabajos posteriores del matemático alemán Georg Cantor llegaron a la conclusión de que algunos conjuntos infinitos son mayores que otros. Es notable hasta qué punto Galileo se anticipó a los trabajos posteriores sobre los números infinitos.
La paradoja de los números interesantes
Algunas paradojas matemáticas son caprichosas. Como esta, que propone clasificar todos los números naturales como «interesantes» o «no interesantes».
La paradoja postula que todos los números naturales son interesantes de alguna manera, aunque a tí no te parezcan interesantes. Una vez que se encuentra un número que no parece interesante, entonces se convierte en interesante en virtud de que se convierte en el primer número que no es interesante. Esto crea una contradicción, una paradoja. Es una paradoja bastante tonta debido a la subjetividad del concepto de «interés».
La paradoja de los números interesantes surgió en una conversación entre los matemáticos G. H. Hardy y Srinivasa Ramanujan sobre los números interesantes. En la conversación, Hardy afirmó que el número 1729 del taxi en el que había viajado era bastante aburrido. Sin embargo, Ramanujan le contestó rápidamente que el número era interesante porque es el número más pequeño que es la suma de dos cubos de dos formas diferentes. El número 1729, más tarde, se hizo famoso como el «número del taxi» o el «número de Hardy-Ramanujan».
Nathaniel Johnston, investigador en computación cuántica, intentó resolver esta paradoja definiendo un número «interesante» de forma objetiva. Definió un número como interesante si aparecía en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros (OEIS), que contiene miles de secuencias de números enteros. Utilizando esta definición, Johnston descubrió en 2009 que el primer «número no interesante», o el primer número que no aparecía en la OEIS, era el 11.630.
La paradoja de la lotería
Esta paradoja fue propuesta por Henry E. Kyburg en 1961. Supongamos que compras un billete de lotería. Supongamos que hay al menos diez millones de boletos y que la lotería sólamente le toca al boleto ganador. Tus posibilidades de ganar serían entonces, de una entre 10 millones, que como bien sabes, no es probable que ocurra. Por lo tanto, es perfectamente razonable suponer que tu billete perderá. También es perfectamente razonable suponer que el siguiente boleto también perderá. Y lo mismo ocurre con el siguiente, y el siguiente, y el siguiente, y así sucesivamente. Tu creencia de que cada billete comprado de la lotería perderá estará completamente justificada por las probabilidades.
Aunque seas perfectamente razonable al pensar que cada billete perderá, sabes que un billete ganará. El problema es el siguiente: ¿por qué sigue siendo razonable suponer que todos los boletos perderán, aunque se sepa que uno ganará? Este problema se viene planteando desde principios de los años sesenta y ha dado lugar a numerosos debates sobre el conocimiento, la racionalidad y otros conceptos filosóficos.
La paradoja del chico o la chica
La primera publicación de esta paradoja fue realizada en 1959 por Martin Gardner en su columna «Mathematical Games» de Scientific American. Gardner la llamó originalmente «El problema de los dos niños».
La paradoja involucra a dos familias: La familia del Sr. Jones y la familia del Sr. Smith. El Sr. Jones tiene dos hijos, el mayor de los cuales sabemos que es una niña. ¿Cuál es la probabilidad de que el menor también sea una niña? Debería ser obvio que la respuesta es ½ porque el hijo menor podría ser un niño o una niña. Además, las probabilidades de dar a luz a un niño y a una niña son prácticamente iguales.
Por otro lado, el Sr. Smith también tiene dos hijos. Al menos uno de ellos es un niño. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean varones? Sorprendentemente, ¡es ⅓! Esto se debe a que, en realidad, hay cuatro combinaciones posibles de hijos en una familia de dos hijos: ambos niños (OO), ambas niñas (AA), un niño mayor y una niña menor (OA) y una niña mayor y un niño menor (AO). Sólo sabemos que uno de los hijos del Sr. Smith es varón, lo que sólo nos deja la posibilidad de que los hijos del Sr. Smith sean ambos chicos (OO), que sólo el hijo mayor sea chico (OA) y que sólo el hijo menor sea chico (AO). ¡Las probabilidades de esas combinaciones son iguales, por lo que es ⅓!
Podemos decir que la ambigüedad de la pregunta «ha cambiado» la probabilidad. Incluso hoy en día, esta paradoja matemática sigue siendo objeto de controversia. Es desconcertante, ¿verdad? La situación se complica aún más con otras versiones del problema …
El problema de Monty Hall
Una de «nuestras» paradojas matemáticas toma su nombre del programa de televisión estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), cuyo presentador original era Monty Hall. El estadístico Steve Selvin describió por primera vez el problema en su carta de 1975 a la revista científica The American Statistician.
Imagínate que estás en un concurso y tienes que elegir entre tres puertas diferentes. Hay un coche nuevo detrás de una puerta y cabras detrás de las otras dos. Supongamos que eliges la puerta nº 1. El presentador, que sabe dónde están las cabras y dónde está el coche, abre la puerta nº 3 y descubre una cabra. Entonces te ofrece la opción de cambiar a la Puerta nº 2. Si quieres ganar el coche, ¿deberías cambiar a la puerta nº 2?
Pues …, ¡si! deberías cambiar. Porque, de esta forma aumentarás las posibilidades de ganar el coche. Cuando haces la elección inicial, tu probabilidad de ganar un coche es de ⅓. Cuando el presentador abre la puerta con una cabra y te ofrece la opción de cambiar, hacer el cambio aumentaría sorprendentemente tus posibilidades a ⅔. ¿Cómo ocurre esto?
Cuando tomas la decisión inicial de la puerta nº1, las posibilidades de que ganes el coche de tus sueños serían de ⅓. Esto significa que habrá un ⅔ de posibilidades de que el coche esté detrás de alguna otra puerta. En este caso, sería la puerta nº 2 o la nº 3. Como sabes que la puerta 3 contiene una cabra, las probabilidades siguen siendo las mismas. Hay una probabilidad de ⅔ de que la puerta nº 2 contenga el coche. Si no cambias, sigues teniendo ⅓ de posibilidades de ganar el coche. Aunque pienses que cambiar no aumenta tus probabilidades de ganar, ¡en realidad las aumenta! Sorprendente, ¿verdad?
Paradoja del cumpleaños
Sin lugar a dudas, es una de mis paradojas matemáticas más desconcertante. Por eso le dediqué otro artículo hace años. Si quieres conocerla, haz clic arriba en su título. Seguro que te gustará y ganarás muchas apuestas con ella. Ya me cuentas …
La paradoja del cuervo
También conocida como la paradoja de Hempel, un filósofo y lógico alemán que la propuso a mediados de los años 40. Comienza con la afirmación aparentemente directa y totalmente cierta de que «todos los cuervos son negros«. Esta frase va acompañada de una afirmación «lógicamente contrapuesta» (es decir, negativa y contradictoria) que dice que «todo lo que no es negro no es un cuervo», lo cual, a pesar de parecer un punto bastante innecesario, también es cierto dado que sabemos que «todos los cuervos son negros».
Hempel argumenta que siempre que vemos un cuervo negro, esto proporciona una evidencia que apoya la primera afirmación. Pero, por extensión, cada vez que vemos algo que no es negro, como una manzana, esto también debe tomarse como evidencia que apoya la segunda afirmación -después de todo, una manzana no es negra, y tampoco es un cuervo.
La paradoja aquí es que Hempel aparentemente ha demostrado que ver una manzana nos proporciona una evidencia, por muy poco relacionada que parezca, de que los cuervos son negros. Es el equivalente a decir que uno vive en Nueva York es una prueba de que no vive en Los Ángeles, o que decir que uno tiene 30 años es una prueba de que no tiene 29. Esto nos lleva a pensar: ¿cuánta información puede implicar una sola afirmación?
La paradoja del barbero de Sevilla
Fue propuesta por el ilustre matemático Bertrand Russell.
Un barbero de Sevilla dice: » Yo afeito a todos los hombres de Sevilla que no se afeitan a sí mismos y únicamente a ellos».
Entonces, ¿Quién afeita al barbero de Sevilla?
Si él mismo se afeita, será uno de los hombres que se afeitan a sí mismos y por tanto, no puede afeitarse él mismo.
Si otra persona le afeita, de acuerdo con la afirmación contundente del barbero, esa persona debe ser el mismo.
¿Podemos concluir que nadie afeita al barbero?
Paradoja de Moebius
La paradoja de Moebius es una paradoja visual, es una figura matemática imposible desde nuestra perspectiva tridimensional. Consiste en una banda plegada con un solo lado y un solo borde, por lo que no se ajusta a nuestra distribución mental de elementos y nos cuesta mucho describirla con nuestras palabras.
El matemático August Möbius construyó en 1858 un puente hacia un reino aparte, cuyas leyes difieren de las de nuestro reino tridimensional. Su principal descubrimiento, la «banda de Möbius», es un elemento que no sólo desafía la lógica y nuestras nociones preconcebidas de lo que es intuitivo, sino que posee unas características matemáticas intrigantes que han hecho avanzar el conocimiento y fomentado el crecimiento de la topología.
El hecho de que una banda de Moebius sirva de base para el símbolo universal del reciclaje no es casual.
Aunque parezca un círculo infinito, no lo es. La cinta de Moebius amplía aún más este concepto de infinito, obligándonos a imaginar -como hizo el artista MC Escher– una hormiga que, en cada vuelta completa, recorre tanto su superficie exterior como la interior sin tocar nunca ninguno de sus bordes. Por ello, ha interesado a artistas, ingenieros, ecologistas y científicos durante décadas.
Espero hayas aprendido cosas nuevas y hayas pasado un buen rato con estas paradojas matemáticas. Todas tienen algo en común: son enigmas fascinantes, y en muchas ocasiones no tienen una respuesta definitiva. Me he dejado algunas, muy conocidas como la del hotel infinito o la de Aquiles y la tortuga. En otra momento paradójico será …
