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Las matemáticas están llenas de curiosidades, y de vez en cuando dejaré caer alguna por aquí. ¿A quien no le gusta jugar con los números? Números sorprendentes hay muchos, pero este es poco conocido.
Números sorprendentes. El 142.857
Aparentemente se trata de un número sencillo y un poco feucho. Pero, muchas veces las apariencias engañan. En este artículo vamos a destacar la singularidad de este número, en relación a la disposición de sus dígitos.
No hay dudas que este número impar, el ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete, es uno de los más interesantes de las matemáticas. Digamos que es "un número misterioso".
Transformaciones curiosas
Empezaremos multiplicando nuestro número. A ver que pasa ...
142.857 x 2 = 285.714
Si lo multiplicas por 2, simplemente se transforma de una forma especial.Puedes ver que las cifras del nuevo número son las mismas, pero escritas en otro orden.
¿Y si lo multiplico por 3?
142.857 x 3 = 428.571
Mosquis! ¿A qué juegan estos números? Son siempre los mismos! Solo se cambian de posición.
Alguien podría pensar que es cuestión de probabilidad, al ser un número de 6 dígitos. Bueno, para tí que has pensado eso.
Seguimos ...
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142
Esto ya parece algo mágico, ¿verdad? Estos números se quieren mucho.
Número cíclico
Si prestas atención te darás cuenta que los productos formados mantienen un orden circular en sus números, es decir, se producen permutaciones rígidas. Para entenderlo mejor, puedes ver las siguiente figura, donde quedan marcados los vértices hexagonales.
Sólo hay que seguir el sentido de las agujas del rejos; podemos decir que se trata de un esquema cíclico.
El 7 lo cambia todo
Pues sí, no deja títere con cabeza. Lo curioso es que "se carga" a todos los números que tan amigos eran y solamente deja al más grande.
142.857 x7 = 999.999
Obtenemos un número formado por seis nueves. ¿Será que le entra el miedo en el cuerpo al acercarse peligrosamente al millón?
No. Una de las muchas características de los números cíclicos es que al multiplicarlos por una unidad más de su número de cifras, (por 6+1, en este caso), el resultado estará compuesto únicamente por nueves.
Nuestro número crece. Ahora pasa a tener 7 cifras
Pasaremos del millón al multiplicar nuestro número por ocho. A ver que ocurre ...
142.857 x 8 = 1.142.856
Fíjate bien. Todos los dígitos que aparecen ahora en el producto, son los mismos con excepción del 7. Nuestro querido siete "ya no cabía" y se ha tenido que descomponer en 6+1. Puedes ver que el el 6 se quedó a la derecha y el uno se fue a la izquierda para completar el producto.
Vamos a ver lo que ocurre cuando multiplicamos el número por nueve:
142 857 x 9 = 1 285 713
Observa con atención este resultado. La única cifra del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. ¿Qué habrá pasado con ese cuatro? Otra vez! Aparece descompuesto en dos partes, 4=1+3, estratégicamente colocados en los extremos del producto
Ahora te toca a tí
De la misma forma puedes verificar las irregularidades que presenta número 142.857 cuando lo multipliques por 11, 12, 13, 15,16, 17, 18, etc.
Algunos autores han llegado a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142.857, que no permiten que esos dígitos se separen.
Varios geómetras notables como Fourrey, Édouard Lucas ó Legendre, han estudiado minuciosamente las sorprendentes propiedades del número 142 857.
En un libro del matemático Fourrey, titulado "Récréations Arithmétiques", aparece la siguiente multiplicación. Observa el orden de nuestro número sorprendente.
Múltiplos de 7
Volvamos a nuestro protagonista de hoy. Multiplicamos ahora nuestro número por múltiplos de 7. Estos son los resultados:
142 857 x 7 = 999 999
142 857 x 14 = 1 999 998
142 857 x 21 = 2 999 997
142 857 x 28 = 3 999 996
Todos los resultados presentan una disposición muy interesante. Ahora es el 9 quien domina el panorama. Observa que sumando los dígitos de los extremos siempre aparece el 9.
¿Cómo aparece en aritmética el número 142.857?
Juguemos ahora con las fracciones. Coge la calculadora. Vamos a convertir la fracción 1/7 a su forma decimal.
1/7= 0.142857 142857 142857 ...
Sorpresa! Obtenemos un decimal periódico simple, cuyo período es ¡tachán! 142.587 Es mejor que sigas investigando tu. Prueba a realizar las fracciones inversas de 7 con los primeros números naturales, es decir 2/7, 3/7, 4/7, etc. A ver que ocurre.Esta es la explicación de la famosa "cohesión" aritmética pretendida por algunos investigadores.
¿Y si lo elevamos al cuadrado?
1428572 = 20.408.122.449
20.408 + 122.449 = 142.857
Es un número de Keprakar, porque si parto el resultado en dos números y los sumo, nos vuelve a dar el número inicial. Realmente impresiona.
¿Quieres más?
♠ Otra curiosidad del número mágico 142.857 es que si lo partimos en dos trozos resultan dos números que sumados entre sí dan 999. Una parte es complemento a 9 de la otra.
142 + 857 = 999
♣ Si la partimos en tres tozos, más de lo mismo: 14+28+57=99
♥ Es un número de Harschad. Es decir, es divisible por la suma de sus dígitos /27=5291
♦ Está "inmerso" dentro de los decimales del número ∏
22/7= 3'142857 142857 ...
Es una aproximación. Sólo difiere de pi un 0'4 %. Desde tiempos de Arquímedes, ya se conocía. Se utilizaba la fracción 22/7 para aproximarme al valor de pi. Hay muchos números sorprendentes.
Una anécdota para finalizar
En cierta ocasión, un profesor viajaba en un taxi a visitar al matemático indio Ramanujan, que se encontraba ingresado en el hospital. El número del taxi donde viajaba era el 1729, número que al profesor le parecía bastante feo. Al llegar al hospital le comentó al gran matemático Ramanujan su mala impresión sobre este número, a lo que este respondió: “No. Es un número fascinante, pues es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos positivos en dos formas diferentes”. De tal modo que:
1729 = 13+123 = 93+103
¿Conoces más números sorprendentes? Sumérgete en él maravilloso mundo de los números, seguro que aprendes. Si quiERES, compARTE
Las matemáticas están llenas de curiosidades, y de vez en cuando dejaré caer alguna por aquí. ¿A quien no le gusta jugar con los números? Números sorprendentes hay muchos, pero este es poco conocido.
Números sorprendentes. El 142.857
Aparentemente se trata de un número sencillo y un poco feucho. Pero, muchas veces las apariencias engañan. En este artículo vamos a destacar la singularidad de este número, en relación a la disposición de sus dígitos.
No hay dudas que este número impar, el ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete, es uno de los más interesantes de las matemáticas. Digamos que es «un número misterioso».
Transformaciones curiosas
Empezaremos multiplicando nuestro número. A ver que pasa …
142.857 x 2 = 285.714
Si lo multiplicas por 2, simplemente se transforma de una forma especial.Puedes ver que las cifras del nuevo número son las mismas, pero escritas en otro orden.
¿Y si lo multiplico por 3?
142.857 x 3 = 428.571
Mosquis! ¿A qué juegan estos números? Son siempre los mismos! Solo se cambian de posición.
Alguien podría pensar que es cuestión de probabilidad, al ser un número de 6 dígitos. Bueno, para tí que has pensado eso.
Seguimos …
142.857 x 4 = 571.428
142.857 x 5 = 714.285
142.857 x 6 = 857.142
Esto ya parece algo mágico, ¿verdad? Estos números se quieren mucho.
Número cíclico
Si prestas atención te darás cuenta que los productos formados mantienen un orden circular en sus números, es decir, se producen permutaciones rígidas. Para entenderlo mejor, puedes ver las siguiente figura, donde quedan marcados los vértices hexagonales.
Sólo hay que seguir el sentido de las agujas del rejos; podemos decir que se trata de un esquema cíclico.
El 7 lo cambia todo
Pues sí, no deja títere con cabeza. Lo curioso es que «se carga» a todos los números que tan amigos eran y solamente deja al más grande.
142.857 x7 = 999.999
Obtenemos un número formado por seis nueves. ¿Será que le entra el miedo en el cuerpo al acercarse peligrosamente al millón?
No. Una de las muchas características de los números cíclicos es que al multiplicarlos por una unidad más de su número de cifras, (por 6+1, en este caso), el resultado estará compuesto únicamente por nueves.
Nuestro número crece. Ahora pasa a tener 7 cifras
Pasaremos del millón al multiplicar nuestro número por ocho. A ver que ocurre …
142.857 x 8 = 1.142.856
Fíjate bien. Todos los dígitos que aparecen ahora en el producto, son los mismos con excepción del 7. Nuestro querido siete «ya no cabía» y se ha tenido que descomponer en 6+1. Puedes ver que el el 6 se quedó a la derecha y el uno se fue a la izquierda para completar el producto.
Vamos a ver lo que ocurre cuando multiplicamos el número por nueve:
142 857 x 9 = 1 285 713
Observa con atención este resultado. La única cifra del multiplicando que no figura en el producto es el cuatro. ¿Qué habrá pasado con ese cuatro? Otra vez! Aparece descompuesto en dos partes, 4=1+3, estratégicamente colocados en los extremos del producto
Ahora te toca a tí
De la misma forma puedes verificar las irregularidades que presenta número 142.857 cuando lo multipliques por 11, 12, 13, 15,16, 17, 18, etc.
Algunos autores han llegado a afirmar que hay una especie de cohesión entre los dígitos del número 142.857, que no permiten que esos dígitos se separen.
Varios geómetras notables como Fourrey, Édouard Lucas ó Legendre, han estudiado minuciosamente las sorprendentes propiedades del número 142 857.
En un libro del matemático Fourrey, titulado «Récréations Arithmétiques«, aparece la siguiente multiplicación. Observa el orden de nuestro número sorprendente.
Múltiplos de 7
Volvamos a nuestro protagonista de hoy. Multiplicamos ahora nuestro número por múltiplos de 7. Estos son los resultados:
142 857 x 7 = 999 999
142 857 x 14 = 1 999 998
142 857 x 21 = 2 999 997
142 857 x 28 = 3 999 996
Todos los resultados presentan una disposición muy interesante. Ahora es el 9 quien domina el panorama. Observa que sumando los dígitos de los extremos siempre aparece el 9.
¿Cómo aparece en aritmética el número 142.857?
Juguemos ahora con las fracciones. Coge la calculadora. Vamos a convertir la fracción 1/7 a su forma decimal.
1/7= 0.142857 142857 142857 …
Sorpresa! Obtenemos un decimal periódico simple, cuyo período es ¡tachán! 142.587
Es mejor que sigas investigando tu. Prueba a realizar las fracciones inversas de 7 con los primeros números naturales, es decir 2/7, 3/7, 4/7, etc. A ver que ocurre.Esta es la explicación de la famosa «cohesión» aritmética pretendida por algunos investigadores.
¿Y si lo elevamos al cuadrado?
1428572 = 20.408.122.449
20.408 + 122.449 = 142.857
Es un número de Keprakar, porque si parto el resultado en dos números y los sumo, nos vuelve a dar el número inicial. Realmente impresiona.
¿Quieres más?
♠ Otra curiosidad del número mágico 142.857 es que si lo partimos en dos trozos resultan dos números que sumados entre sí dan 999. Una parte es complemento a 9 de la otra.
142 + 857 = 999
♣ Si la partimos en tres tozos, más de lo mismo: 14+28+57=99
♥ Es un número de Harschad. Es decir, es divisible por la suma de sus dígitos /27=5291
♦ Está «inmerso» dentro de los decimales del número ∏
22/7= 3’142857 142857 …
Es una aproximación. Sólo difiere de pi un 0’4 %. Desde tiempos de Arquímedes, ya se conocía. Se utilizaba la fracción 22/7 para aproximarme al valor de pi. Hay muchos números sorprendentes.
Una anécdota para finalizar
En cierta ocasión, un profesor viajaba en un taxi a visitar al matemático indio Ramanujan, que se encontraba ingresado en el hospital. El número del taxi donde viajaba era el 1729, número que al profesor le parecía bastante feo. Al llegar al hospital le comentó al gran matemático Ramanujan su mala impresión sobre este número, a lo que este respondió: “No. Es un número fascinante, pues es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos positivos en dos formas diferentes”. De tal modo que:
1729 = 13+123 = 93+103
¿Conoces más números sorprendentes? Sumérgete en él maravilloso mundo de los números, seguro que aprendes. Si quiERES, compARTE
Muuu curioso.Thankss
Curioso e interesante. Gracias por el aporte bro
Me alegro que te haya gustado. Gracias por comentar.
Saludos!
Siempre me pregunté si habría números similares en sistemas de base 8 o base 16 u otras bases.
(el 142857 es en base 10).
Muy bueno el artículo.
Muchas gracias Andrés!
Es una muy buena pregunta. Yo no me la había planteado …
Un abrazo
Fascinante número.
Cierto! Me alegro que te haya gustado. Saludos