abejas en panal

Números perfectos: Qué son, cómo calcularlos y ejemplos.

En este post te voy a hablar sobre los números perfectos, sus ejemplos y curiosidades.

¿Números perfectos? Hace unos días estaba con un alumno de bachillerato resolviendo unos problemas. El resultado de uno de ellos fue de 6 metros cuadrados.

— Bien Oscar! Has acertado, además es un número perfecto!

— Cómo que perfecto? Es sólo un seis barrigón (ya me tiene confianza)

— Jajaja, ¿No os han explicado qué es un número perfecto en clase?

— Qué va! ¿Qué significa?

A veces me pregunto porqué cuesta tanto mostrar la belleza de las matemáticas, cuando esta se nos presenta en muchos ejemplos en nuestra vida diaria. Creo que los alumnos disfrutarían más en sus clases.

Hoy me gusta mucho la historia. De pequeño la detestaba porque recuerdo que me hacían memorizar unos recuadros resumen al final del tema. ¿A ti también? ¡Cuánto nos perdimos entonces! Menos mal que hoy hay buenos documentales.  Siento que hoy muchos chavales aborrecen las mates por razones similares. Ahí lo dejo.

🔎 Índice
  1. ¿Qué son los números perfectos?
  2. ¿Cuáles son los números perfectos?

¿Qué son los números perfectos?

Para muchos alumnos sin dudarlo, su número perfecto sería el 10.

Los pitagóricos tenían otra concepción del número perfecto y creían que el 10 podía serlo porque el número de primos entre 1 y 10 (2,3,5,7) era igual al de no primos (4,6,8,9), y este era el número más pequeño que tenía esta interesante propiedad.

Tal vez te preguntarás cómo saber si un numero es perfecto. Cuando la suma de los divisores de un número es igual al propio número, se dice que es un número perfecto. Las propiedades exclusivas de los números perfectos fueron esbozadas por Euclides en sus Elementos y estudiados a fondo cuatro siglos después por Nicómaco.

¿Cuáles son los números perfectos?

¿Cuál es el primer número perfecto? El primer número perfecto, y el menor es el número 6.

Sus divisores son 1, 2 y 3. 1+2+3=6   Los pitagóricos estaban tan encantados con el número 6 y con la forma en que sus partes encajaban juntas que lo llamaron “matrimonio, salud y belleza”

El segundo número perfecto es el 28. Lo comprobamos fácilmente sumando sus divisores 1+2+4+7+14=28.

28 es un numero perfecto

Estos dos números, ellos solitos, son la base de la perfección en el maravilloso mundo de los números. ¿Por qué? Porque todo número perfecto par siempre acaba en 6 o en 28.

Tenemos que “saltar” hasta el 496 para encontrar otro número perfecto. Compruébalo tu mismo:  496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.

Lista de números perfectos

Es tremendo, entre los primeros 30 millones de números sólo encontrarás 4 números perfectos! Te dejo el cuarto por si quieres comprobar su perfección. El 8.128. Aquí tienes una lista de los números perfectos. Como verás los primeros cinco ya se conocían en el siglo XVI.

Aquí tienes una lista de los primeros números perfectos conocidos hasta la fecha:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 33550336
  • 8589869056
  • 137438691328
  • 2305843008139952128

Números perfectos y suma de cubos

¿Qué me estás contando? Parece haber un patrón de inclusión de todos los cubos impares hasta cierto punto. Al pequeño 6 lo dejamos aparte.

\(28 = 1^3 + 3^3\)

 

\(496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3\)

 

\(8128 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3 + 9^3 + 11^3 + 13^3 + 15^3.\)

Aprende más sobre ... Hay que jugar con las mates. Números poligonales

 

Estas expresiones son sumas de cubos de números naturales impares consecutivos.

Estas relaciones específicas pueden ser interesantes y pueden estar relacionadas con propiedades particulares de los números perfectos, pero es importante señalar que estas expresiones no son generalmente aplicables a todos los números perfectos. Cada número perfecto puede tener su propia expresión única en términos de la suma de cubos, si existe tal expresión.

¿Hay relaciones geométricas al hablar de números perfectos?

A Pitágoras y sus discípulos, les encantaban las conexiones geométricas. Y es allí donde se encuentra la perfección. Porque todos los números perfectos son números hexagonales; los más grandes siempre se pueden disponer en torno a un collar hexagonal. Como puedes ver en la siguiente imagen, podemos representar al número 28 como un número hexagonal. Viva la geometría!

numeros perfectos ejemplos

Y la naturaleza que es muy sabia también utiliza los hexágonos. Sí, las colmenas de las abejas!

La forma más eficiente de cubrir el plano sin dejar huecos, es mediante hexágonos. Rellenar el plano de la forma más eficaz significa que a igualdad de área con otro “rellenado” el perímetro total será menor.

abejas en panal

Bien saben las abejas que los hexágonos son las formas más eficaces para construir los paneles de miel (usando la cantidad mínima de cera para construir el máximo número de celdas).Esto mismo pensaba Pappus de Alejandría (s. III d.C), pero tuvieron que pasar muchos siglos hasta que el matemático Thomas C. Hales demostrara en 1999  lo que hoy se conoce como el teorema del panal.

¿Quieres sonreír? Te recomiendo que veas este monólogo sobre teoremas y el amor del genial Eduardo Sáenz de Cabezón, donde habla de Pappus y las abejas.

Los números de Mersenne

Un número de Mersenne se construye a partir de las potencias de 2.   \(2^{n}-1\)  Por ejemplo para n=3, se obtiene el número 7. Enseguida podrás comprobar que siempre son números impares.

Y aquí entrar a jugar los omnipresentes números primos. Porque sólo aquellos números de Mersenne que también son primos (indivisibles!), son la clave para construir números perfectos.

Números primos de Mersenne

Mersenne sabía que sólo podía obtener un número primo si la potencia n era un número primo. Pero ¿bastaba con eso? No! Los números primos no son tan sencillos ...

Por ejemplo, para el un número primo 11 se obtiene que  \({ 2 }^{ 11 }-1=2047=23·89\) , por tanto no es primo.

Es decir, tampoco hay ningún patrón ni regla establecida. En la recta numérica no es nada fácil encontrar esta clase de números. Entre los primeros cien mil números sólo se encuentran 5 primos de Mersenne.

La serie de los primos de Mersenne comienza con:  3, 7, 31, 127, 8191, 131071,...

Observa que los números perfectos se pueden obtener como la mitad del producto entre un primo de Mersenne y el número que le sigue. Aquí puedes ver algunos ejemplos para obtener estos números admirables:

Ejemplos de números perfectos

El gran Leonhard Euler aportó el octavo primo de Mersenne en el año 1732. Es el siguiente \(2^{31}-1=2.147.483.647\)

Gracias al uso de potentes ordenadores, hasta la fecha se han descubierto 45 números primos de Mersenne.

Números perfectos impares

¿Se hallará alguna vez algún número perfecto impar?

Nadie lo sabe. Hasta la fecha, solamente existen los numeros perfectos. Parecería poco menos que un milagro que apareciera un número perfecto impar por las condiciones que tendría que cumplir. Nadie ha podido demostrar que no existan, pero a veces la intuición falla. No se ha encontrado ninguno, y este sigue siendo un problema abierto en matemáticas.

Números perfectos del 1 al 100

Te recuerdo que solamente hay dos, y son fáciles de aprender: el 6  y el 28

Números perfectos del 1 al 1000

Número PerfectoDivisores PropiosSuma de Divisores Propios
61, 2, 36
281, 2, 4, 7, 1428
4961, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248496
81281, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 40648128

Ten en cuenta que los números perfectos son aquellos números enteros positivos que son iguales a la suma de sus divisores propios (excluyendo al propio número). Hasta ahora, solo se han descubierto 51 números perfectos, y los cuatro primeros se encuentran en la tabla de arriba. Estos números han sido objeto de estudio durante siglos debido a su naturaleza especial y propiedades matemáticas únicas.

Estos números pueden parecer arbitrarios, pero tienen una serie de propiedades interesantes que los hacen fascinantes para los matemáticos. En la actualidad, se están utilizando supercomputadoras para buscar nuevos números perfectos, en un intento por descubrir más sobre estas misteriosas entidades matemáticas.

Es importante destacar que los números perfectos son pocos y distantes entre sí. De hecho, los matemáticos han demostrado que hay infinitos números perfectos, pero la mayoría de ellos son extremadamente grandes y difíciles de calcular.

Aprende más sobre ... tarta problema del cumpleaños El problema del cumpleaños. Una gran paradoja

Espero que te hayan gustado estas curiosidades matemáticas. ¿Conocías los números perfectos? ¿Te los habían explicado en clase?

Espero que te haya gustado este artículo sobre Números perfectos: Qué son, cómo calcularlos y ejemplos.. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

    30 lectores opinan:

  1. Avatar Marga dice:

    Deberiais hacer mucho mas articulos como este. Gracias Saludos

  2. Avatar José Manuel Corominas R. dice:

    Muy interesante este Blog. También puedo comprobar que hay propiedades que no aparecen en los distintos Blogs (P.e. la demostración de que todo Nº Perfecto acaba en 6 U 8 .No es difícil . Yo lo demostré basándome en que 2^4 = 16 y todo primo p = 4n+1 o p = 4n+3 ; así mismo basándome en que todo primo de Mersenne = 4n+3.) . Muy interesante la propiedad / conjetura de Marcos Fernández . Os propongo otra propiedad que he apreciado, y es que todo Nº Perfecto = múltiplo de 9 + 1 ( +1). No lo he visto en ningún blog. Os lo dejo por si os apetece tratar de demostrarlo; seguro que podréis. en unos días os pasaré la demostración que conseguí.
    Un cordial saludo
    José Manuel Corominas

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias por tus palabras y por tu aportación matemática.
      La verdad es que actualmente apenas tengo tiempo para "meterme" con estas interesantes demostraciones. Pero da gusto leer a gente disfrutando de belleza de las matemáticas.
      Un abrazo José Manuel

  3. Avatar Ignacio dice:

    En la lista proporcionada parece haber una errata en el número en posición 49.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      No sé exactamente a lo que te refieres Ignacio.

      Gracias por comentar. Saludos!

  4. Avatar Alexander Villarroel Venezuela dice:

    Tengo una fórmula para generar los enesmos números perfectos. Cómo haría para registrarla y que se me de reconocimiento por ella. Agradezco su información al respecto gracias. Valoraria mucho me enviara información a mi correo..

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      La verdad es que no tengo idea sobre esto. Puedes pedir información a la Real Sociedad Matemática Española – RSME, u otro organismo similar.
      Suerte Alexander. Un abrazo

  5. Avatar Julio César dice:

    Supongamos que tenemos un número N perfecto impar, entonces la suma de sus divisores propios debe ser impar. Pero resulta que los divisores de un número impar son todos impares, porque si hubiera al menos uno par sería divisible por 2 con lo cual haría absurda la hipótesis de N impar.
    Ahora bien, como la suma de los divisores propios es impar y siendo 1 uno de sos divisores, entonces la suma de todos los demás divisores propios debe par, ya que si fuera impar al sumarle 1 quedaría par y nuevamente haría absurda la hipótesis de N impar.
    Como los divisores son todos impares y la suma de los divisores propios - 1 es par, entonces se tiene que la cantidad de esos divisores propios sin el 1 debe ser una cantidad par de números.
    Teniendo en cuenta que todos los cuadrados de un número tienen una cantidad par de divisores propios, se concluye que de existir un número perfecto impar no podría ser el cuadrado de ningún impar y mucho menos par.

    1. Avatar YO dice:

      Muy buena aportación Julio Cesar. Gracias!

  6. Muchas gracias Justo Fernández, por tu valiosísimo aporte. También agradecimiento mil por toda la dedicación que implica la existencia y el aporte de una página como soymatematicas.com. Estaré muy pendiente de tus aportes y ojalá pueda yo también aportarte. Desde Medellín, Colombia, un saludo del tamaño del universo. ¡Hasta pronto!

  7. Avatar matematico chapin dice:

    soy matematico chapin y me sorprende esto de los numeros perfectos voy a trabajar un mes en ellos y luego les contare como me fue.
    saludos

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Me alegro mucho que despierte tu interés. Me encantará conocer tus resultados ...
      Un abrazo

  8. Avatar andrea dice:

    hola!
    muchisimas gracias por este blog es super interesante descubrir cosas nuevas, yo pasaba por aqui a agradecerte ya que esto me ha servido de gran ayuda. estaba estudiando para presentar mi examen icfes.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Andrea!

      Gracias a ti por tus palabras de agradecimiento que me hacen recargar las pilas.
      Mucha suerte con tu examen. Ánimo!

  9. Avatar Marcos Fernández Iglesias dice:

    Hola.

    Muy interesante todo lo que cuentas de los números perfectos. Yo llegué a ellos a través de un libro del cole de mi hija sobre Fermat.

    Pero hay una cosa que "descubrí" sobre ellos y que aún no he leído en ninguna parte. Quería preguntarte si es cierta mi suposición o no. Seguro que es una tontería, y que ya está "más que descubierta", aunque yo no lo haya visto por ninguna parte o no lo haya entendido si me lo explicaron con lenguaje matemático. Bueno, voy al grano. Verás:

    Excepto el 6, que es el primero de la serie, en todos los demás números perfectos con los que he estado probando, si se van sumando sus dígitos hasta reducirlos a una sola cifra, esa cifra es siempre el 1 (y la anterior previa a la última reducción también se repite siempre, y es el 10).

    Ejemplos:

    28: 2+8=10: 1+0=1
    496: 4+9+6=19: 1+9=10: 1+0=1
    8128: 8+1+2+8=19: 1+9=10: 1+0=1
    33550336: 3+3+5+5+0+3+3+6=28: 2+8=10: 1+0=1
    8589869056: 8+5+8+9+8+6+9+0+5+6= 64: 6+4=10: 1+0=1
    137438691328: 1+3+7+4+3+8+6+9+1+3+2+8= 55: 5+5= 10: 1+0=1
    2305843008139952128: 2+3+0+5+8+4+3+0+0+8+1+3+9+9+5+2+1+2+8= 73: 7+3= 10: 1+0=1

    Y así sucesivamente.

    ¿Estoy en lo cierto al decir que esa propiedad se da siempre? ¿es cierto que nunca se había hecho referencia a ella o no?, ¿tiene alguna importancia?.

    Estaré encantado de conocer tu respuesta.

    Muchas gracias, y un saludo.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Marcos!
      Muchas gracias por tu interesante aportación.

      La verdad es que no conocía esta curiosidad. Yo solo soy un humilde profesor.

      Con respecto a las preguntas, no puedo responderte con seguridad. La demostración matemática sería bien compleja. Indagaré y si tengo respuestas, te lo comentaré

      Un abrazo!

  10. Avatar Evans dice:

    Me encantó!

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Cuanto me alegro. Gracias!
      Saludos 😉

  11. Avatar Marco dice:

    Mira que me han gustado siempre las matemáticas y lo de los números perfectos no lo había estudiado o si lo hice, no lo recuerdo, siempre aprendiendo algo nuevo, gracias.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Marco! Mil disculpas por contestar ahora. Se me pasó en su momento.
      Yo siempre estoy aprendiendo de mis alumnos. Gracias a tí. Saludos!

  12. Avatar Soledad Campos dice:

    ¡Fantástico artículo! y si la memoria no me falla (cosa más que probable, me refiero a que me falle), nunca había oído hablar de los números perfectos y me parece de lo más interesante. Muchas gracias Justo, me está haciendo pensar en ello.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias Soledad!Las matemáticas tienen muchas cosas sorprendentes.Y es una pena que normalmente no se destaque la belleza de esta asignatura en las aulas de secundaria.
      Un abrazo!

  13. Avatar Francisco Javier Lara Sánchez dice:

    Muy interesante esta aportación sobre los números perfectos. Yo ignoraba su existencia y además sorprende su escasez. Siempre se aprende algo.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Me alegro que te haya gustado Francisco. Yo estoy aprendiendo todos los días ...
      Saludos!

  14. Excelente entrada.
    Dejo aquí un enlace a la entrada que en su día hice en mi blog también sobre los números perfectos:
    http://matematicascercanas.com/2015/03/04/numeros-perfectos/
    Saludos.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Amadeo.
      Os recomiendo que os deis una buena vuelta por esta web con muchas matemáticas http://matematicascercanas.com/

  15. Avatar Jarods dice:

    Y ya que me baje la lista de los números perfectos, al ir revisando observe que los numeros perfectos terminan en 6 y 8, así que en teoría viendo esa lista seria que los numeros perfectos terminan en esos digitos, ahora seria probarlo o encontrar un número perfecto que no termine en esos números para rechazar esa teoría. Tambien podrias colocarlo como curiosidad en tu artículo.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Ya aparece en el artículo. Todos los números perfectos acaban en 6 o en 28. Gracias por ayuda. Saludos!

  16. Avatar Jarods dice:

    Como siempre un articulo interesante y divertido, aunque ya conocia los numeros perfectos nunca imagine que hubieran tan pocos en los primero 30 millones. Ahora me quede con la duda si alguien encontrará un numero perfecto impar, aunque por logica me pareciera imposible, pero en las matemáticas hasta no demostrar con un teorema nada esta dicho. Saludos y en espera de tu próxima publicación.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias por darme energía Jarods. Tienes razón, las apariencias a veces engañan 😉
      Un abrazo

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