extraterretre con sus dominios

Cómo calcular el dominio de una función. Ejercicios

¿Entiendes bien qué es el dominio de una función? Suele causar problemas a los estudiantes. Saber que es el dominio de una función es fundamental en el estudio de representaciones gráficas.En este artículo te lo explico con todo detalle, para que no tengas ninguna duda.

Conceptos básicos de funciones

Las relaciones entre magnitudes son descritas de forma elegante y práctica mediante el lenguaje de las funciones. Hay muchos tipos de funciones (lineales,cuadráticas,exponenciales…) que nos ayudan a estudiar una variedad infinita de situaciones reales. Aunque no te lo creas, todos los días utilizas funciones. Sin lugar a dudas el concepto más importante de todas las matemáticas es el de función. Las funciones pueden venir dadas de varias formas: por su gráfica, mediante una tabla de valores, por una fórmula o a través de una descripción verbal.

Siempre me he imaginado una función como una máquina donde entran unos números y salen otros. Aunque no siempre es así 😉

como hallar el dominio máquina

Una función liga dos variables numéricas, habitualmente llamadas x e y

x es la variable independiente (la que entra), y es la variable dependiente (la que sale)

Nuestra máquina de hacer números o función se suele denotar por y=f(x). Relaciona cada valor de x con un único valor de y: En la siguiente imagen puedes ves un ejemplo sencillo, de como varia f(x) según los valores de x.

como sacar el dominio de una funcion

Pero debes estar atento. En muchas ocasiones para un valor determinado de x, no le corresponde ningún valor de f(x). Entonces, ¿qué ocurre si no hay ningún valor asignado a \(f(x)\)? Muy sencillo, para ese valor de \(x\), la función \(f(x)\) no existirá. Dicho de otra forma, "la máquina se rompe".

Por ejemplo, para la función \(y = \frac{2}{x}\), no podemos asignarle el valor cero, ya que es imposible dividir entre cero. Es decir, para \(x = 0\), esta función no existe. Antes de ver en que casos puedes encontrarte estas situaciones, es coveniente que sepas identificar fácilmente el dominio viendo la gráfica de la función.

🔎 Índice
  1. Cómo hallar el dominio de una función
  2. Dominio de una función. Ejemplos
  3. Cómo sacar el dominio de una función. Ejemplos  
  4. Ejercicios de dominios de funciones
  5. Como encontrar el dominio de una funcion

Cómo hallar el dominio de una función

¿Cómo puedo identificar el dominio de una función en una gráfica?

Esto es muy sencillo, no te preocupes. Además hoy en día hay herramientas fabulosas como Desmos, que te permiten representar funciones fácilmente.

En los siguientes ejemplos lo verás fácilmente. La función viene representada en color azul y el dominio en color verde. Se aprecia con claridad que el dominio de una función son todos los valores de la variable x que tienen una imagen, es decir, en su misma vertical aparece un valor de la función representada, f(x) existe.

Ten en cuenta que para ver el dominio siempre debes mirar en el eje X.  Enseguida podrás ver si hay algún valor que no pertenezca al dominio de función. Te pongo dos ejemplos:

como determinar el dominio de una funcion

como sacar el dominio de una funcion

Dominio de una función. Ejemplos

Se llama dominio de una función f, escrito \(Domf\) , al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x).

¡Truco! Busca valores que no pertenezcan al dominio. Cuándo la función no existe

Siempre resulta interesante encontrar (si los hay) estos casos. Debes ser capaz de ver que operaciones tienes que hacer para encontrar los valores que no tienen imagen, que hacen que la función no exista. Estos son los casos más comunes:

 1. Es imposible dividir entre cero

Es una operación prohibida en matemáticas. ¿Cómo puedes dividir 10€ entre nadie? Nunca podrás dividir entre cero.

Por ejemplo, si \(y = \frac{5x^2 - 3}{x}\), esta función no está definida para \(x = 0\).

2. El radicando de una raíz de índice par no puede ser negativo

\[ \sqrt{-7} \rightarrow \text{ no existe} \]\[ \sqrt[4]{-5} \rightarrow \text{ existe} \]

3. El logaritmo de cero o de un número negativo no existe

\[ \log(0) \rightarrow \text{ no existe} \]\[ \log(-7) \rightarrow \text{ no existe} \] dominio de una función ejemplos

Es muy importante que sepas buscar los valores para los cuales una función no existe. Veamos dos ejemplos prácticos:

#Hallar el dominio de \(y = \frac{1}{{x^2 - 2x - 8}}\).

Enseguida te debes dar cuenta de que el denominador no puede ser cero. Por tanto, hay que buscar los valores malditos que rompen la máquina. ¡A por ellos!

\[x^2 - 2x - 8 = 0 \quad \rightarrow \quad x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} = 4 \quad \text{y} \quad -2\]

Por tanto, acabas de ver que los valores \(x = -2\) y \(x = 4\) anulan el denominador, por lo que no pertenecen al dominio de definición. En este caso, \(\text{Dom} f = \mathbb{R} - \{-2, 4\}\).

# Hallar el dominio de \(y = \sqrt{x + 3}\)

¿Y ahora qué? La raíz no puede ser negativa.

Es decir, \(x + 3 \geq 0 \quad \rightarrow \quad x \geq -3\).

En la gráfica puedes observar que el dominio existe desde \(-3\) hasta el infinito, esto lo expresamos así: \(\text{Dom} f = [-3, +\infty)\).

El concepto de dominio de función no resulta fácil de entender para algunos alumnos, pero es más fácil de lo que parece. La clave principal es encontrar los valores para los cuales la función no existe. Ya que todos los demás valores pertenecerán al dominio de la función. Lo más conveniente es estudiar el dominio de las funciones más importantes que te puedes encontrar. Pero antes puedes ver a las funciones bailando en el siguiente video. Mola.

Cómo sacar el dominio de una función. Ejemplos  

Función polinómica

Suelen ser las favoritas de cualquier estudiante porque no dan ningún problema. Su dominio es el valor de todos los números reales. En ellas no te encontrarás raíces ni denominadores que te compliquen la vida. Ejemplo:

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\[ f(x) = x^3 + 5x^2 - 1 \]

Dicho de otro modo, en las funciones polinómicas no hay valores de \(x\) para los cuales no exista \(f(x)\), es decir, la función siempre existirá. Decimos entonces que su dominio es el conjunto de todos los números reales:

\[ \text{Dom} f = \mathbb{R} \]

Dominio de una función racional

El dominio de estas funciones será \(\mathbb{R}\), excepto los valores que anulan el denominador. En estos casos, para obtener el dominio de una función racional, tienes que buscar el valor o los valores que hacen cero el denominador. Estos valores no pertenecerán al dominio. Antes has podido ver un ejercicio resuelto. Te muestro un ejemplo más:

\[ f(x) = \frac{3}{x-7} \quad \text{Dom} f = \mathbb{R} - \{7\} \]

Es decir, la función existirá siempre que \(x\) sea distinto de 7, por tanto el dominio es el conjunto de todos los reales menos el número primo 7.

Calcular el dominio de una función irracional

¿Qué es una función irracional? Es aquella en la que aparece una raíz. Porque las raíces no pueden ponerse en forma racional o de fracción. El mismísimo Pitágoras lo pasó muy mal con esto.

Aquí resulta preciso distinguir entre dos casos diferenciados.

  • Raíces de índice impar. Siempre existen. Su dominio es R
  • Raíces de índice par. Existirán siempre que su radicando sea igual o mayor que cero

Veamos algunos ejemplos para que lo entiendas:

\[ f(x) = \sqrt{x-5} \]

Como es una raíz de índice par, existirá siempre que su radicando sea mayor o igual que cero. Entonces:

\[ x-5 > 0 \quad \rightarrow \quad x > 5 \]

\[ \text{Dom} f = [5, +\infty) \]

\[ f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 5} \]

En este caso puedes ver que la raíz es de índice impar, por tanto siempre existirá. Su dominio de función será \(\text{Dom} f = \mathbb{R}\).

Dominio de una función logarítmica

Recuerda que las funciones logarítmicas son las que contienen a la \(x\) dentro de un logaritmo. Estas funciones siempre existirán cuando el logaritmo sea mayor que 0. Esto es lo que tienes que buscar. Los otros valores, serán los que hacen que el logaritmo sea cero o negativo. Y estos valores los que tienes que excluir del dominio de la función. Veamos:

\[ f(x) = \log(x-9) \]

Siempre y cuando el logaritmo sea mayor que cero, esta función existirá:

\[ x-9 > 0 \quad \rightarrow \quad x > 9 \]

Entonces queda claro que la función existirá cuando \(x\) sea mayor que 9. Es decir, su dominio será:

\[ \text{Dom} f = (9, +\infty) \]

El paréntesis indica que 9 no pertenece al dominio, porque si \(x = 9\), obtenemos logaritmo de cero, y esto no existe.

Cómo calcular el dominio de una función exponencial

Las funciones exponenciales son las que tienen la \(x\) en el exponente. Como base puedes tener cualquier número real mayor que 0 y distinto de 1. Lo expresamos de esta forma:

\[ f(x) = a^x \quad \text{con} \quad a \neq 1 \quad \text{y} \quad a > 0 \]

Ejemplos de estas funciones tan particulares hay infinitos. El número \(e\) suele jugar un papel importante.

\[ f(x) = 3^x \quad \quad \quad \quad f(x) = e^{x^2 + 5x} \]

Y ahora te pregunto, ¿ves algún valor de \(x\) que haga que estas funciones no existan? Yo tampoco. En consecuencia, el dominio de estas funciones será el conjunto de todos los números reales. Esta función, como las polinómicas, siempre existe.

\[ \text{Dom} f = \mathbb{R} \]

Si lo prefieres, puedes ver el siguiente vídeo para consolidar lo aprendido.

Ejercicios de dominios de funciones

¿Te atreves con estos ejercicios? Ahora te toca a tí encontrar el dominio de las siguientes funciones, algunas sencillas y otras más complejas. En el aprendizaje de las matemáticas es muy importante razonar y practicar mucho, esa es la clave del éxito. A ver si eres capaz de resolver estos ejercicios:

1) \[ f(x) = \frac{2}{2x + 4} \]Solución: \(\text{Dom} f = \mathbb{R} - \{-2\}\)

2) \[ f(x) = \frac{1 - x}{x^2 - x - 6} \]Solución: \(\text{Dom} f = \mathbb{R} - \{-2, 3\}\)

3) \[ f(x) = \sqrt{-x^2 + 2x + 3} \]Solución: \(\text{Dom} f = [-1, 3]\)

4) \[ \log(x^2 + 6x) \]Solución: \(\text{Dom} f = (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)\)

¿Te ha gustado la entrada? Espero que te haya podido ayudar. Es importante que no te dominen las funciones ;-)Si te has quedado con dudas, puedes ver el vídeo con los ejercicios de dominio de funciones resueltos. No dejes de explorar tus dominios

Te agradecería mucho que compartieras el artículo. Así me ayudarás tú a mí. Si ienes alguna duda, indícalo en los comentarios y te ayudaremos. Te dejo una tabla resumen, por si las moscas.

Aprende más sobre ... ejemplo sistemas de ecuaciones no lineales Sistemas de ecuaciones no lineales

Como encontrar el dominio de una funcion

Tipo de FunciónDescripciónConsideraciones para el Dominio
Funciones PolinómicasFunciones definidas por un polinomio de la forma \(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0\).El dominio es todos los números reales (\(\mathbb{R}\)), ya que se pueden evaluar en cualquier valor real de \(x\).
Funciones RacionalesFunciones que son el cociente de dos polinomios, de la forma \(\frac{p(x)}{q(x)}\), donde \(q(x) \neq 0\).El dominio excluye los valores que hacen que el denominador sea cero. Se deben encontrar las raíces de \(q(x)\) y excluirlos del dominio.
Funciones RadicalesFunciones que contienen una raíz cuadrada, cúbica, etc., de la forma \(\sqrt[n]{f(x)}\).Para raíces pares, el argumento debe ser mayor o igual a cero (\(f(x) \geq 0\)). Para raíces impares, el argumento puede ser cualquier número real.
Funciones LogarítmicasFunciones de la forma \(\log_{b}(f(x))\), donde \(b > 0\) y \(b \neq 1\).El argumento \(f(x)\) debe ser estrictamente positivo (\(f(x) > 0\)). Se deben encontrar los valores de \(x\) para los cuales \(f(x) > 0\).
Funciones ExponencialesFunciones de la forma \(b^{f(x)}\), donde \(b > 0\) y \(b \neq 1\).El dominio es todos los números reales (\(\mathbb{R}\)), ya que se pueden evaluar para cualquier valor real de \(x\).
Funciones TrigonométricasFunciones trigonométricas como \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tan(x)\).Para \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\), el dominio es todos los números reales. Para \(\tan(x)\), se excluyen los valores donde \(\cos(x) = 0\) (por ejemplo, \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), donde \(k\) es un entero).
Funciones con Valor AbsolutoFunciones de la forma \( |f(x)| \).El dominio es todos los números reales (\(\mathbb{R}\)), ya que el valor absoluto está definido para cualquier número real.

Espero que te haya gustado este artículo sobre Cómo calcular el dominio de una función. Ejercicios. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

Quiero aprender más sobre:

    15 lectores opinan:

  1. Avatar Byan dice:

    Muchas gracias por la ayuda... nos ha sido muy util.

  2. Avatar fany dice:

    deberías explicarlo mejor detallado

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias por tu comentario Fany. En cuanto puedo trataré de revisarlo y entrar en más detalles.
      Saludos

  3. Avatar Karol dice:

    Muy buen articulo. Gracias por compartirlo.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias Karol, me alegro que te haya gustado

  4. Avatar Julio Buendia dice:

    Ta chido el blog. Lo añadiré a favoritos

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Julio. Un enorme saludo para México lindo

  5. Avatar Martha López Gómez dice:

    Gracias, muy buenos aportes para los docentes, padres de familia y estudiantes. Hacen ver muy agradable el aprendizaje y comprensión de las matemáticas.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Martha. Estos comentarios son gasolina emocional para seguir divulgando las matemáticas.
      ¡Un abrazo!

  6. Avatar Pablo López dice:

    Hola muy buenas,
    muy buena explicación pero no se abren las soluciones de los ejercicios. Lo cual no puedo corregirlos, me las podéis mandar por mensaje?
    Muchas gracias.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias Pablo. Igual es problema de tu navegador. Te las mando por aquí. Saludos!

      1) Domf={R−(−2)}
      2) Domf={R−(−2,3)}
      3) Domf=[−1,3]
      4) Domf=(−∞,−6)∪(0,+∞)

  7. Avatar Israel dice:

    Hola,
    ¿Qué conocimientos previos de operaciones matemáticas crees necesarios para poder encontar los dominios?
    O dicho de otra forma, ¿Qué nivel de matemáticas consideras oportuno?
    Gracias,

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Israel, gracias por tu acertada pregunta.
      En principio el estudiante debe tener claros conceptos básicos de aritmética, fracciones y potencias. También de álgebra, para poder resolver ecuaciones.
      Aunque a veces se introduce el concepto en el tercer curso de secundaria, el concepto de dominio se suele abordar en 4º de secundaria, y se profundiza en el calculando cualquier tipo de dominio, de funciones complicadas, en primero de bachillerato.
      Saludos!

  8. Avatar CARLOS RITTER dice:

    HOLA MUY BUENO EL VÍDEO, MUY DIDÁCTICO. ENTRETENIDO PARA LOS ALUMNOS.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Carlos. Siempre hay que intentar hacer las matemáticas amenas para los alumnos.
      Saludos

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