Triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal: Cómo se construye y sus propiedades

Una de las herramientas mágicas de las matemáticas es el triángulo de Pascal. Además de ser muy útil, también es muy sencillo de construir. Incluso puede que le puedas sacar uso al triángulo de pascal en la vida coditidiana, ya que puede ayudarte en algún examen.¿No te lo crees? Compruébalo tu mismo.

🔎 Índice
  1. ¿Cómo se construye el triángulo de Pascal?
  2. Propiedades del triángulo de Pascal
  3. El triángulo de Pascal te permite calcular probabilidades
  4. Aplicaciones del triángulo de Pascal

¿Cómo se construye el triángulo de Pascal?

Triángulo de Pascal, triángulo de Tartaglia o triángulo numérico, así me llaman, aunque no soy un triángulo geométrico, más bien una disposición numérica en forma de triángulo. Soy una figura elegante, repleta de muchas características interesantes:

triangulo de Pascal

 

Tal vez estés aquí porque te has preguntado como se hace el triangulo de pascal. Es muy sencillo. Cada linea se construye a partir de la anterior. Con excepción de los números 1, que siempre están en los extremos, cada número es igual a la suma de los dos números que tiene por encima.

Propiedades del triángulo de Pascal

Las aplicaciones del famoso triángulo ya las conocían los matemáticos indios (siglo XI), chinos y persas. Pero fue el filósofo y matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) el primero en organizar muchas propiedades de manera conjunta, escribiendo el primer tratado sobre esta disposición numérica.

En Italia todos lo conocen como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano, unos de los principales matemáticos del siglo XVI y seguramente el primero en publicarlo en Europa.

Infinito y simétrico

No tiene fin y es simétrico respecto al eje vertical. Se puede leer igualmente empezado por la izquierda que por la derecha.

Potencias cuadradas

La suma de todos los valores de cualquier fila del triángulo, es igual a una potencia de 2. La primera fila se denomina fila cero. Aquí puedes ver cómo hacer el triángulo de Pascal.

propiedades del triangulo de pascal

De esta forma se obtienen todas las potencias de 2:  1,2,4,8,16,32,64,128,256, etc.

Potencia de una suma

Observa con atención y verás cómo cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio

propiedades o caracteristicas del triangulo de pascal

Esta propiedad es muy utilizada en matemáticas. Es uno de los errores típicos de álgebra que cometen los estudiantes. Conociendo este triángulo numérico, es difícil que te equivoques.

Números poligonales

Fueron descubiertos por los pitagóricos. Están presentes aquí, absolutamente todos los que quieras tener. ¿Los encuentras? Te echo una mano. En la diagonal pintada de color azul, se encuentran los números triangulares.

observa las primeras filas del triángulo de pascal y responde

Los números cuadrados están un poco "más escondidos".  Coge esta misma diagonal y haz una pequeña operación para obtenerlos:

1        1+3=4        3+6=9       6+10=16     10+15=25       15+21=36       21+28=49     etc.

Como ves cada número cuadrado se obtiene sumando dos números triangulares consecutivos. Tiene su lógica, porque un cuadrado es la suma de dos triángulos.

Números pentagonales

En este caso tienes que coger la diagonal de los números naturales.

1        2+3=5      3+4+5=12        4+5+6+7=22       5+6+7+8+9=35      etc.

Observa el patrón numérico que se cumple, realmente bonito.

Números hexagonales

Estos se ven a simple vista. ¿Ya los tienes? Van dando saltos. Sí, también aparecen en la diagonal coloreada de azul.

que es el triangulo de pascal

Sucesión de Fibonacci

Seguramente habrás oído hablar de ella. También la encontramos en este conjunto mágico de números.

como se construye el triángulo de pascal

 

¿Qué pasará si diferenciamos los números pares de los impares?

Al usar diferentes colores para distinguirlos, obtenemos ... un fractal !! A ver quien me dice ahora que las matemáticas son aburridas ...

Obtenemos un patrón igualito al triángulo de Sierpinski.

Aprende más sobre ... infinito El infinito: Definición de infinito y ejemplos de...

 

triangulo pascal

Puedes construir fácilmente este fractal a partir de un triángulo equilátero (hazlo bien grande). Une los puntos medios de los lados y obtendrás 4 triángulos. Uno en el centro invertido. Después tienes que ir repitiendo el proceso en cada uno de los triángulos que se apoyan en su base.

Un  objeto con estas características de auto semejanza en distintas escalas, se denomina fractal. Podemos decir entonces que el triángulo de Pascal es un fractal, aunque bien es verdad que hay que buscarlo. ¡qué importante es dibujar en matemáticas!

El triángulo de Pascal te permite calcular probabilidades

♣ ¿Cuál es la probabilidad exacta de sacar exactamente dos caras tirando cuatro monedas?

Tengo 4 objetos, me voy a la fila 4. Observo que tengo 16 casos posibles (sumando los valores de esa fila)

Tengo que sacar 2 caras. Cuento hasta llegar a la casilla número 2 de esta fila (el primer 1 es la posición cero). Obtengo el número 16.

  6/16= 37'5%

♠ ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras tirando cinco monedas?

¿Te sale que es igual a un 31'25%? Estupendo!!

Imagínate la cantidad de apuestas que puedes hacer con tus amigos. Cuestión de probabilidades ...

... y posibles combinaciones de elementos

curiosidades del triangulo de pascal

triangulo de pascal propiedades

 

Los números del triángulo de Pascal coinciden exactamente con los números combinatorios.

Por ejemplo, si tienes cinco libros, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres libros para leer durante unas vacaciones (no importa el orden)?  

Ves a la fila 5 , y sitúate en la posición número 3 (recuerda que el primer 1 es la posición cero). Esa es la respuesta! De 10 formas diferentes.

formulas del triangulo de pascal

formula del triangulo de pascal

Potencias de 11

También están todas. Sólo tienes que "ver" cada fila como un único número. A partir de la quinta fila, cuando ya aparecen números de 2 cifras, necesitamos agrupar estos números para obtener la potencia de 11. Aquí tienes el triángulo de Pascal hasta el 20.

triángulo de pascal fórmula

Actividades con el triángulo de Pascal

A continuación, te propongo una serie de actividades recreativas para que te des cuenta de las grandes relaciones que esconde este triángulo mágico.

En los siguientes diagramas hay una relación entre los números azules y el número de color verde. ¿Puedes verla?

qué es el triángulo de pascal       en que consiste el triangulo de pascal

La encontraste, ¿verdad? Observa que el patrón de esta relación se cumple siempre en cualquier parte del triángulo numérico.

La siguiente también es sencilla. ¿Puedes encontrarla? ¿Eres capaz de enunciar dicha relación?

piramide de pascal  como se resuelve el triangulo de pascal

Aplicaciones del triángulo de Pascal

AplicaciónDescripción
Coeficientes binomialesEl triángulo de Pascal es la representación gráfica de los coeficientes binomiales. Estos coeficientes son esenciales en el cálculo de las potencias de un binomio.
Cálculo de combinacionesEl número de combinaciones de n elementos tomados de k en k se puede determinar mediante el uso del triángulo de Tartaglia.
Sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci puede ser generada por el triángulo de Pascal, sumando ciertos elementos en diagonal.
Desarrollo del Teorema de NewtonLos coeficientes en el desarrollo de un polinomio mediante el Teorema de Newton son los números del Triángulo de Tartaglia.
Propiedades de los númerosEl triángulo de  Tartaglia tiene una riqueza de propiedades y patrones numéricos que son objeto de estudio en la teoría de números.

Como ves las posibilidades que ofrece el triángulo de Pascal son enormes. Permite resolver muchos problemas de cálculo. Te aseguro que aprenderás mucho si sigues descubriéndolas por ti mismo. Dale rienda suelta a tu imaginación y disfruta jugando con los números, las matemáticas no te decepcionarán ...

Aprende más sobre ... número e matemáticas El número e. Valor del número e, orígenes y cur...

¿Tú qué opinas? Te espero en tu blog de matemáticas. Si te ha gustado el artículo, compártelo en tus redes sociales.

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Quiero aprender más sobre:

    42 lectores opinan:

  1. Avatar Jayla Florez dice:

    ¡El Triángulo de Pascal es más emocionante que cualquier episodio de Game of Thrones!

    1. Avatar info@soymatematicas.com dice:

      ¡Vaya, vaya! Parece que alguien ha encontrado emocionante a un triángulo matemático. Cada quien con sus gustos, pero personalmente prefiero las batallas épicas de Game of Thrones. ¡Valar Morghulis!

  2. Avatar carlos fabian dice:

    Cordial saludo.
    Excelente contenido y artículo, los problemas que se abordan son geniales, las situaciones y los problemas son verídicos, a veces cuando se dan clases la conectividad juegan un papel muy importante ya que perder el hilo en el alumno es fatal, también recomiendo este lugar en donde se habla de las matemáticas de manera general, muy bien. me gustaría trabajar en conjunto para enlazarte en un artículo de mi blog quedo atento.

    clasesdematematicas.com.co

    1. Justo Fernández Justo Fernández dice:

      Muchas gracias por tus palabras Carlos.
      Claro, puedes poner un enlace en tu blog de un artículo mío. Yo también trataré de darte visibilidad.
      Saludos!

  3. Avatar Triana dice:

    Autor y fecha de publicación, por favor
    y un gran trabajo

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Triana. El artículo lo escribí hace muchos años, recopilando información de algún libro de texto mío y de internet. Gracias. Saludos

  4. Avatar DANA CAMILA CARRILLO dice:

    cual es la decima de la fila del triangulo del pascal

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Disculpa la tardanza en contesta Dana, pero con el final de curso no doy abasto.
      Se suele considerar la segunda fila esta: 1 1, si sigues contando llegarás a la décima fila:
      1,9,36,84,126,126,84,36,9,1 ..
      Saludos!

  5. Avatar Barbara dice:

    Muy buen aporte. Gracias por compartirlo.

  6. Avatar Beatriz Calderon Zambrana dice:

    Cómo puedo hacer el triángulo de Pascal hasta la fila 20

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Beatriz, debes seguir el patrón que se indica en el artículo. Fíjate que al principio y final de cada fila se ponen unos. Los demás números surgen al sumar los dos que tienen encima. Saludos!
      1
      1 1
      1 2 1
      1 3 3 1

  7. Avatar Benito dice:

    Me ha encantado este post! Aunque solo tengo una pregunta y es la relación entre el triangulo de Pascal y el binomio de Newton. Gracias!!

  8. Avatar valentina dice:

    como hago el triangulo de pascal hasta la fila 15

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Valentina. En el artículo tienes hasta la fila 11. Si te fijas, los números de cada fila, resultan de sumar los dos de la fila superior. Y siempre se empieza y acaba por 1. Te pongo las filas 11 y 12 y te dejo que sigas tú.
      1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
      1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
      Saludos!

      1. Avatar José dice:

        Disculpa amigo tengo una duda muy importante, alguien ha descubierto ya una formula para obtener cualquier fila del triangulo de pascal sin tener que calcular las filas anteriores? por ejemplo:
        si quiero la fila 12 obtener (1,11,55,165,330,462,462,330,165,55,11,1) sin calcular lo que hay en la fila 1,2,3........14.

        1. Avatar Justo Fernández dice:

          Hola José,
          Es una pregunta muy interesante. Las filas que se obtienen no son progresiones aritméticas ni geométricas, sino números combinatorios de esta forma:
          (a + b)3 = 1·a3 + 3·a2b + 3·ab2 + 1·b3
          Es decir, están relacionados con la combinatoria, pero desconozco si se pueden obtener de alguna otra forma mediante una fórmula determinada.
          Saludos!

  9. Avatar Carlos S dice:

    Les presento el trabajo desarrollado por un servidor
    researchgate.net/post/Pascals_triangle_next_levels
    Saludos
    Carlos S

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Carlos!

      Muy interesante. La belleza y las propiedades que esconde el triángulo de Pascal son enormes.

      Felices matemáticas!

  10. Avatar DANIELA ALEJANDRA OLMOS dice:

    Tendran semejanzas el cuadrangular con el terciario? Muchas gracias por todo lo que escribiste.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Daniela. Las posibilidades que ofrece el triángulo de Pascal son enormes. No acabo de entender tu pregunta; puedes especificar?

      Gracias a tí! Saludos!

  11. Avatar Ana dice:

    CUALES SON LOS 7 PRIMEROS ELEMENTOS QUE CONTIENEN AL 35 A PARTIR DEL PALO DE HOCKEY?

  12. Avatar Angela dice:

    Excelente material! Empecé Facultad de ingeniería y no me acordaba de todas las propiedades que tiene el triángulo de Pascal, me sirvió mucho para cálculo, Gracias

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Ángela!!
      La verdad es que es sorprendente las maravillas que atesora este triángulo ...
      Saludos!

  13. Avatar Benito dice:

    Respecto a las potencias de 11, cuando aparecen los números de dos cifras, lo que me he dado cuenta es que mantienes los tres números del final y el resto los vas sumando de dos en dos para que te dé la potencia de 11.
    Bien, el problema viene a partir de once elevado a la 9, cuando en el triángulo de pascal ya empiezan a aparecer números de tres cifras. En esta ocasión, para cuadrar la posible suma del triángulo con el valor de la potencia de 11, lo que he hecho ha sido sumar lo siguiente: (fila 9 n=9)
    1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 . Las tres primeras cifras empezando por la derecha se dejan igual, dícese 6 9 1. A continuación 4+3= 7, 8+6=14, nos quedamos con el 4 y el 1 lo arrastramos para más adelante. A continuación (1+2)+6=9 (de esta forma transformamos el número de tres cifras en uno de dos). Seguimos (1+2)+4=7 (mismo procedimiento que el anterior). Ahora, 8+6=14, más ese 1 que llevamos arrastrando desde el 8+6=14 anterior y que hemos ignorado hasta ahora, por tanto, 8+6+1=15. Ahora 9+3+1=13 y finalmente 1+1=2.
    Haciendo todo este lio nos sale al final la potencia desado, 11^9= 2357947691.
    Para cuando empiecen a aparecer números de cuatro cifras, ya se debe de complicar mucho más, aún no lo he intentado.
    ¿Sabes si existe algún libro donde expliquen la relación de las potencias de 11 con el triángulo de pascal, para cualquier fila del triángulo? Es algo que me interesa mucho, pero no he encontrado ningún libro aún.
    Muchas gracias, espero haberme explicado de forma clara.

  14. Avatar yoana dice:

    esas son las propiedades que tienen sus elementos?

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Si Yoana, además de otras muchas. Cómo ves es un triángulo sorprendente ...

      Saludos!

  15. Avatar Diego dice:

    y las demostraciones??? Ahí solo se aprecia que funcionan para una pequeña parte del triángulo...

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Diego,
      Mi intención con estos artículos es divulgar las matemáticas, sin entrar en complejas demostraciones en las que yo a veces me pierdo.
      El triángulo de Pascal, al seguir un patrón matemático, cumple fielmente las propiedades, aunque te vayas a números más grandes y lejanos del vértice superior.

      Saludos 😉

  16. Avatar salvo dice:

    No soy matemático solo un simple aficionado a la combinatoria , pero que tienen que ver sus ejemplos con el acierto en los juegos de azar , bien es cierto que existen condicionantes que ayudan al acierto limitando la intuición con matrices de comportamiento real matemático . Aficionadamente saludos .

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Salvo. La teoría de la probabilidad ha estado desde sus inicios vinculada
      con los juegos de azar. Etimológicamente, la palabra azar
      deriva del árabe az-zahr, que significa el dado para jugar.
      La combinatoria es una parte importante de la probabilidad.
      Saludos!!

  17. Avatar ¨Marta García dice:

    Muy lindo este post. Completo, simple y clarísimo, algo difícil de lograr. Felicitaciones Justo

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias por tu comentario Marta.
      Felices matemáticas. Un abrazo 😉

  18. Avatar Greg dice:

    El blog es de mucha ayuda. Gracias

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Me alegro! Muchas gracias Greg. Saludos!

  19. Avatar angela dice:

    Excelente aporte. me encantan las matematicas y disfruto mucho aprendiendo estas maravillas que personas como tu consultan y comparten. mMuchisimas gracias.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Te lo agradezco mucho Ángela.
      Tenemos la gran suerte de disfrutar de las mates. Un abrazo!

  20. Avatar Sandra Riverol dice:

    ¡Hola! En verdad eres un ángel con una entrada me explicarte lo de media semana de clases.
    No sé si es pedirte mucho o algo así per si pudiese explicarme ya sea algo sobre como graficar funciones tipo (3x -1)/(2x) te lo agradecería mucho, porque me cuentan muchísimo trabajo; y pues de hacer trampa a pedir ayuda prefiero la segunda.
    Ya no me muevo de este blog porque es muy bueno y tiene el potencial tanto para ayudarme en la Prepa como en la carrera que fuere a escoger (Economía o actuaría)
    Besos, y me alegra al fin encontrar un blog tan maravilloso y bien explicado.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Sandra! Me has alegrado el día con tus palabras 😉

      Te puede ayudar mucho el programa Desmos para graficar. A mí me gusta tanto que le dediqué este artículo: https://soymatematicas.com/como-representar-funciones-facilmente/
      Que te vaya bonito. Un abrazo

  21. Avatar El oshe ke riko dice:

    Odio las matemáticas!!!!!

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Es una triste realidad. Muchas personas odian las matemáticas. Su lenguaje abstracto y un mal aprendizaje en las primeras etapas influyen bastante.

      Pero todos podemos disfrutar de la belleza de las matemáticas, con un poco de interés y ganas de aprender.

      Un abrazo

      1. Avatar LILI dice:

        Esa es la actitud

        1. Avatar Justo Fernández dice:

          Cierto Lili. La actitud es imprescindible para aprender. Cuando uno está con ganas y motivado, todo es más sencillo. Saludos! 😉

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