Teorema de Tales: Problemas y explicación paso a paso

El Teorema de Tales compite en rivalidad con el famoso Teorema de Pitágoras. Gana este último, pero el primero también tiene mucha importancia. En este artículo te lo entenderás mejor, con su explicación paso a paso y resolviendo algunos problemas.

En la mayoría de ocasiones para encontrar la solución a un problema, primero tenemos que buscar datos relevantes.Cómo un buen detective! En geometría, es fundamental buscar aquellos elementos que nos interesen.

🔎 Índice
  1. Problemas con el teorema de Tales. Dos hechos históricos
  2. Teorema de Tales sobre triángulos semejantes
  3. Explicación del teorema de Tales

Problemas con el teorema de Tales. Dos hechos históricos

Se cuenta que el matemático Tales de Mileto (siglo VI a.C.), utilizando la semejanza de triángulos y su ingenio resolvió dos problemas nada sencillos en su época, como estos dos:

teorema de tales problemas
¿A qué distancia estaban los barcos enemigos?
problemas teorema de tales
¿Qué altura tenía  la gran pirámide de Keops?

Antes de ver cómo pudo encontrar la solución el gran sabio griego, ¿te atreves a plantear el problema haciendo un pequeño esquema? Para facilitarte las cosas, te muestro sobre la pantalla algunas cosas que te vendrá bien recordar.

Semejanza de triángulos

Ten en cuenta que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos correspondientes iguales y si sus lados homólogos son proporcionales entre sí.

Triángulos semejantes trazando paralelas

También es importante que recuerdes que si en un triángulo trazas una línea paralela a cualquiera de sus lados, obtendrás dos triángulos semejantes. Mira cuantos sale ahora! Por ejemplo, en el polígono azul hay 4 triángulos semejantes:

teorema de tales triangulos semejantes

Teorema de Tales sobre triángulos semejantes

¿Te acuerdas? Afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Dicho de otra forma.Cuando veas rectas paralelas,"córtalas" y obtendrás varias razones de semejanza.

teorema de tales

teorema de tales fórmula

El Teorema de Tales es una herramienta fundamental en la geometría y se utiliza para resolver problemas relacionados con la proporcionalidad en los triángulos. Este teorema establece que si trazamos tres rectas paralelas a los lados de un triángulo, estas intersectarán a los lados opuestos formando segmentos proporcionales.

Para resolver problemas utilizando el Teorema de Tales, se deben identificar las rectas paralelas y los segmentos proporcionales en el triángulo dado. Luego, se puede utilizar la propiedad de proporcionalidad para encontrar la longitud de un segmento desconocido.

Explicación del teorema de Tales

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.

El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado, de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura (h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

teorema de tales problemas ejemplo

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

teorema de tales aplicación

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los conocía.

Más problemas de teorema de Tales

Según narra Herodoto, Tales calculó la altura de la gran pirámide de Keops, situada en Guiza, la más antigua de las siete maravillas del mundo.

Aprende más sobre ... Obtención del área del círculo Obtención del área del círculo

¿Cómo lo hizo?

Usando su teorema, el gran sabio pensó que en el momento que su sombra midiese lo mismo que él, los rayos del Sol formarían un grado de 45 grados con la cima de la pirámide y con su cabeza. Y por tanto, en ese preciso instante la altura de la pirámide sería igual a la sombra de la misma.

teorema de tales ejemplos

Observando el dibujo, podemos llamar h a la altura de Tales y s a su sombra.

En el momento que  s=h, los rayos del Sol formaran un ángulo de 45 grados en la cabeza de Tales y con la cima de la pirámide (al ser los rayos del Sol paralelos entre sí). Por tanto, en ese mismo momento H=S.

Como estamos mirando triángulos semejantes, midiendo la sombra de la pirámide (S), conoceremos su altura (H), que será la misma.

Observa que se trata de triángulos semejantes, porque sus ángulos homólogos son iguales. Los dos triángulos dibujados tienen un ángulo recto y dos ángulos de 45 grados.

En la práctica, el teorema de Tales es uno de los que más aplicaciones tiene. Normalmente, todos los años salgo con mis alumnos a medir la altura de algunos edificios, árboles o monumentos, con la simple ayuda de un metro, papel y lápiz, para que busquen ellos mismos triángulos semejantes y sepan calcular cualquier cosa (incluso aunque esté nublado...) 😉

Datos curiosos sobre Tales de Mileto

Nuestro personaje de hoy, fue un célebre astrónomo, filósofo y matemático griego. Es considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Vivió en la misma época que Pitágoras. Parece que fue el primero en explicar la razón de los eclipses de sol y de luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Cuentan los historiadores que murió asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.

Este es uno de los episodios anecdóticos atribuidos a Tales: Cierta noche paseaba el matemático completamente absorto mientras contemplaba las estrellas y, por al no prestar suficiente atención al terreno que pisaba, cayó  dentro de un gran hoyo. Una vieja, que pasaba por allí vio el accidente y le dijo, "¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo que pasa en el cielo si no eres capaz de saber lo que ocurre en tus pies?"

Destacó gracias a su sabiduría práctica, a su notable capacidad política y a la gran cantidad de conocimientos que poseía. Se le atribuye la máxima "En la confianza está el peligro".

En este vídeo Les Luthiers nos explican el teorema de Tales cantando. Con imágenes y cantando también se aprende ...

Problemas del teorema de Tales

Ahora te toca a tí aplicar tus conocimientos. A continuación de te dejo sobre la pantalla dos problemas de teorema de Tales. Si tienes ganas, puedes probar a solucionarlos. Tienen su utilidad. Es muy importante que practiques con ejercicios teorema de Tales.

♣ Calcula la altura de un edificio sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 6 metros, y una persona que mide 1,8 m. tiene, en ese mismo instante, una sombra de 70 cm.

¿Y si está nublado?

No importa, siempre puedes encontrar alguna referencia que te sirva.

♠ María quiere conocer la altura de la torre de la Giralda en Sevilla. Cuando sale a la calle se separa de la base de la torre 8,5 m y observa que para ver el extremo superior necesita un ángulo de elevación respecto a la horizontal de aproximadamente 85°. Si María mide 1,70 m, ¿cuál es la altura aproximada de la Giralda?

*Nota: Aquí tienes una pequeña guía para resolver problemas.

¿Te ha parecido interesante? Comparte en tus redes sociales.

Aprende más sobre ... Teorema de Pitágoras. De 0 a 100 Teorema de Pitágoras. De 0 a 100

(Ilustraciones de Lucía Fernández)

Espero que te haya gustado este artículo sobre Teorema de Tales: Problemas y explicación paso a paso. Me ayudarás mucho si lo compartes en tus redes sociales. Debajo tienes los botones🎯¡Hasta pronto!

    46 lectores opinan:

  1. Avatar Amadeo dice:

    Que grande fue Tales ...

  2. Avatar José Luis Duarte montealegre dice:

    Interesante el tema

  3. Avatar Héctor dice:

    cuales son las condiciones para resolver un problema por medio de tales ?

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Héctor, normalmente tendrás tres datos, y mediante el teorema de Tales, podrás obtener el dato que te pide el problema.
      Saludos!

      1. Avatar vodk dice:

        Gracias profe! aki estudiando 1 hora antes del examen final, vamos que se aprueba

  4. Avatar Héctor dice:

    Hola una pregunta me podrian ayudar en unos ejercicios de una tarea sobre el teorema de tales, es que no entiendo una parte

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Claro que sí, Héctor.
      Gracias por comentar y pasarte por aquí. Saludos

  5. Avatar BRYAN dice:

    Hola, cual es la solución del primer problema planteado?

  6. Avatar Arnau dice:

    Hola, cual es la solución del segundo problema planteado?

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Arnau. Este es un problema un poco más difícil. Para resolverlo tienes que tener nociones de trigonometría. Aquí no puedo hacerte un dibujo, pero es fundamental hacer siempre uno para representar gráficamente la situación.

      Primero tienes que relacionar el ángulo de 85° con el lado adyacente del triángulo de 8.5 metros y el lado opuesto desconocido ''y'': tg(85)=y/8'5 de donde y=97'2 metros
      A esto le sumamos la altura de María --> 97'2+1'7=98'9 metros mide la torre sevillana.

      Saludos!

      1. Avatar Esperanza Neira dice:

        Por favor me pidrían ayudar con este problema
        En la imagen se muestra una pared en la que hemos trazado rectas perpendiculares a su base indicando la distancia entre ellas. En la parte superior hemos colocado los puntos A, B y C
        Antes de A hay una medida de 1.5 m en la parte superior y 1.2 m en la base. Entre A y B hay una medida de 1.8 m en la base. Entre B y C hay una medida de 3 m en la base.
        ¿qué distancia hay entre los puntos A y B?
        ¿qué distancia hay entre los puntos B y C?
        ¿qué distancia hay entre los puntos A y C?

        1. Avatar Carolina fajardo dice:

          Diatrancia entre b y c= 3,75m
          Distancia entre A y C = 600m

  7. Avatar elimar dice:

    me podrian ayudar a resolver ejercicios matematicos

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Buenos días Elimar. Claro, siempre puedo sacar algún rato para ayudarte.
      Saludos

  8. Avatar lucila dice:

    Buenas tardes! podrían ayudarme con este problema, no logro entender como puedo obtener la velocidad resultante. desde ya muchas gracias!!

    Un bote a motor se dirige hacia el Norte a 24 km/h, en un lugar donde la
    corriente es de 8 km/h en la dirección S 70º E. Recuerde que las velocidades son vectores.
    Encuentre la velocidad resultante del bote, en magnitud y dirección. Construya el diagrama
    vectorial

  9. Avatar María dice:

    Buenas noches, necesito realizar este problema. En la siguiente figura sabiendo que las dimensiones están Arámbula en metros, calcula x,y,z y hay un triángulo como hago para mandarte la figura por favor y gracias

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola María. Puedes enviarme la figura al email info@soymatematicas.com
      Gracias por comentar. Saludos!

  10. Avatar Chio dice:

    Alguien podría ayudarme, necesito 5 problemas en donde pueda aplicar este teorema, sé cómo resolverlos pero no tengo mucha imaginación

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Chio. Puedes medir cualquier cosa, siempre que puedas disponer de triángulos semejantes. La altura de un árbol, edificio, torre (con o sin sombra). También la profundidad de un pozo, la anchura de un río, etc.
      Encontrarás mucha información en internet. Saludos!

      1. Avatar Blanca Alfaro dice:

        Hola !
        Me podría ayudar con mi trabajo de matemáticas

        1. Avatar Justo Fernández dice:

          Hola Blanca!
          Te puedo ayudar en algo puntual, pero si es algo más continuo, puedes apuntarte a nuestra academia de matemáticas online.
          El precio es bastante asequible.
          Saludos!

  11. Avatar monica dice:

    Hola me gustaria saber como se haya el área total de un plano que contiene cuadrado y triangulos . Gracias

  12. Avatar Angie Cabezas dice:

    Hola Como Se Puede Saber cuales son las dos medidas que faltan que son AD y DC Si Sabes Que AC=18 AB=14 y BC=10..

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Angie.
      ¿Te refieres a triángulos semejantes? Saludos

  13. Avatar juan marsiglia dice:

    hola ayuda con este problema por fa

    un albañil construyo una pared en forma de triangulo rectángulo, la base del triangulo mide 28m y la hipotenusa del mismo 35m. se sabe que el albañil cobro m2 A $ 6.500 y que la formula para calcular el área del triangulo es A=BH/2.¿que cantidad de dinero se le pago al albañil'

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Juan.
      En este problema tienes que aplicar el teorema de Pitágoras. Me gustaría que lo entendieses,para ello puedes entrar aquí: Obtendrás que 35^2 = 28^2 + x^2
      Tendrás que continuar tú ...

      Saludos!

  14. Avatar Xavier dice:

    Hola porfavor ayuden con este problema.
    Para fijar un poste, desde 11m de altura se tiempla un cable hasta 4,40 m de distancia del pie del poste. Cuanto mide el cable?

    Se va a pintar una pared de 7.8m de altura. A que distancia de su pie debe colocarse una escalera de 8.2m de largo?

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Xavier!

      Tienes que darte cuenta que en los dos ejercicios puedes aplicar el teorema de Pitágoras, porque se forman triángulos rectángulos.
      Recuerda que siempre se cumplirá que (hipotenusa)^2=(cateto)^2+(cateto)^2

      Sustituyendo los datos, las soluciones son: 11'85 metros mide el cable y 2'53 m. de distancia

      Saludos!

  15. Avatar Edgardo Vargas dice:

    Buenisima ayuda hermano

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Edgardo. Me alegro que te haya ayudado con el artículo.

      Saludos!

  16. Avatar karolaine villero dice:

    hola necesito ayuda con un problema por fa para que me ayuden dice un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de un 1,3 metros¿ que altura tendrá un árbol que ala misma hora proyecta un asombra de 4 metros?

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola Karolaine,

      Se trata de triángulos semejantes. Tienes que aplicar el teorema de Tales, estableciendo esta igualdad: 3/1'3 = x/4
      Despenjando obtienes que x=9'23 metros

      Saludos 😉

  17. Avatar MARQUEZ dice:

    EXCELENTE VIDEO Y SOBRE TODO LA SOLUCION DE PROBLEMAS BASTANTE DINAMICOS, POR ESO CADA VEZ CREO MAS, EN QUE, DIOS UTILIZO LAS MATEMATICAS COMO EL ALFABETO PARA ESCRIBIR EL UNIVERSO. SALUDOS.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Muchas gracias Márquez !
      La verdad es que observando los patrones de la naturaleza, da que pensar ...
      Galileo Galilei, uno de los grandes genios de la humanidad acuño la célebre frase que comentas: "Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo"
      Saludos!

  18. Avatar Jose Delgado dice:

    excelente anécdotas practicas sobre matemáticas, es un buenísimo material que compartir con mis estudiantes, por que yo soy docente, muchísimas gracias.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Hola José,
      Me alegra mucho que te haya gustado y que puedas aplicarlo con los alumnos 😉
      Un abrazo!

  19. Avatar yuleydi dice:

    me gusta

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias por comentar. Saludos 😉

  20. Avatar Muricio dice:

    Excelente, me gusta mucho, y quiero aprender mas, sobre matemáticas, y su aplicación en la vida practica.

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Gracias! Me alegro que te haya gustado.
      Las matemáticas tienen muchas aplicaciones prácticas. Imagínate por un momento que no existieran los números. La vida sería muy complicada ...
      Un abrazo.

      1. Avatar andrea dice:

        Tienes toda la razón si números no podríamos contar ni medir ni saber los precios e la comida....

        1. Avatar Justo Fernández dice:

          Como acaba de decir Louis Nirenberg (el reciente premio Abel) ... “Las matemáticas son el centro de la vida”

          Saludos Andrea! 😉

  21. Avatar Ignacio Sanchez Canchola dice:

    Me gustaria repasar y aprender metodos para resolucion de problemas

    1. Avatar Justo Fernández dice:

      Agradezco tu interés Ignacio. Te he enviado a tu correo documentos que te pueden ser de utilidad. Saludos

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Subir