Las matemáticas recreativas son una buena manera de aprender disfrutando. Con los cuadrados mágicos podrás pasarlo bien mientras le das al coco.

¿Qué es un cuadrado mágico?

Es una tabla donde se colocan números enteros en sus casillas. Cumple las siguientes condiciones:
  • La suma de los números de cualquier línea (horizontal, vertical o diagonal) será siempre la misma (constante mágica)
  • Los números de un cuadrado mágico deben ser todos diferentes.
  • Cualquier cuadrado mágico se puede construir por números que formen una progresión aritmética.
Al  número de casillas de una línea se le denomina orden o módulo del cuadrado. Puedes comprobar que no existen cuadrados mágicos de orden 2.

 

Un poco de historia. ¿Cuál es el origen de los cuadrados mágicos?

Cuenta una leyenda china que alrededor del año 2100 a. C. el emperador Yu vió emerger del río a una tortuga. En su caparazón tenía unas marcas, que puedes ver simbolizadas en el siguiente dibujo. A la derecha tienes la representación numérica. Es de orden 3 y su constante mágica es 15.

 

Cuadrado mágico Lo-Shucuadrados mágicos 1

 

Es el primer cuadrado mágico conocido! Se le atribuyeron propiedades mágicas y religiosas. Posiblemente fueron los chinos los primeros en descubrir las  peculiaridades matemáticas de estos cuadrados.
En Occidente los cuadrados mágicos surgen por primera vez  en el año 130 d.C. Se han encontrado en documentos del astrónomo griego Teón de Esmirna.
Muchos matemáticos y astrónomos de la Edad Media creían en la importancia de estos arreglos numéricos. Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas o  cabalísticas . Los  cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades. La superstición era muy común entonces y creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra.
En el Renacimiento, se estudiaron desde el punto de vista matemático y varios científicos y artistas los usaron como ilustraciones para sus obras, entre ellos Durero.

 

Alberto Durero (1471-1528)

En su grabado Melancolía, este gran matemático incluyó uno de los cuadrados mágicos más conocidos y fascinantes. Es de orden 4 y su constante mágica es 34.
La característica más visible es que en su parte inferior aparece 1.514, el año en que fue grabado. Todas sus columnas, filas y diagonales; sus cuatro esquinas, el cuadrado central, y sus cuatro cuadrantes suman 34.
Durante siglos se ha pensado que el cuadrado mágico de Durero es un “arquetipo lleno de significado y misticismo”.
El matemático Cornelio Agripa (1486 – 1535) construyó cuadrados mágicos con los módulos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, que representaban simbólicamente los siete planetas: Saturno, Júpiter, Marte, Sol, Venus, Mercurio y la Luna.
Para Cornelio el cuadrado con una casilla con el número 1, simbolizaba la unidad y la eternidad de Dios. El no poder construir un cuadrado con 4 casillas, lo atribuía a la imperfección de los cuatro elementos: aire, tierra, agua y fuego. Agripa, fue acusado de ejercer hechicería y le condenaron a un año de prisión.
Benjamín Franklin (1706-1790) dedicó mucho tiempo a estudiar y crear cuadrados mágicos.
Genios matemáticos como Fermat , Euler, Pascal y  Leibnitz, hicieron admirables estudios sobre cuadrados mágicos.

¿Cómo se pueden construir los cuadrados mágicos?

Hay varias maneras, pero quiero mostrarte estrategias sencillas para crear cuadrados mágicos.

De orden impar

El ejemplo más sencillo es un cuadrado de orden 3, el más pequeño posible. Usaremos los números del 1 al 9. Empieza dibujando el esqueleto de tu cuadrado. Después añade casillas en todos los laterales, hasta formar un rombo. De esta forma:

cuadrados mágicos 2

   

Ahora, empieza en el extremo superior con el 1 y coloca todas las cifras siguiendo las diagonales alternas formadas en el rombo. Observa que quedan casillas en blanco.
cuadrado mágico 3
Sólo te falta completar el cuadrado mágico. ¿De qué forma?. Tienes que “colocar” los números que están en las casillas exteriores del cuadrado, al lugar que les corresponde. Dentro!
¿Cómo? Utilizando simetría!
Primero usamos una simetría horizontal. Las celdas externas de la parte superior pasan a completar la parte inferior, como si lo doblásemos. Y las de la parte inferior pasan a la parte superior. De la misma forma usamos después una simetría vertical.
Con una imagen se entiende mejor. El cuadrado quedaría así. ¿Te suena?

 cuadrado mágico 4

 

¿Te atreves ahora a hacer un cuadrado mágico de orden 3 usando sólo números impares?
Te dejo otro ejemplo; un cuadrado de orden 5 y constante 65. No es difícil. Tu también puedes hacerlo con los números que quieras y sorprender a tus amigos. Recuerda las condiciones para hacer magia!

cuadrado magico 5

 

cuadrado magico 6

De orden par

Ahora vas a hacer un cuadrangular de orden 4. Sitúa el número 1 (o la primera cifra de una serie) en el extremo superior izquierda. Ahora desplazándote cómo si escribieras, anota solamente las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

cuadrado mágico 7

Por último, sitúate en la última celda en blanco (casilla 15). Aquí pones el número 2 (o la 2ª cifra de la serie). Ahora te desplazas de derecha a izquierda y hacia arriba para ir completando los números que faltan por orden.
Una imagen te aclarará tus posibles dudas. Nuestro cuadrado ya está resuelto!

cuadrado mágico 8

Si prestas atención, podrás comprobar que este cuadrado es completamente simétrico al de Durero. de hecho si aplicamos el método situando la cifra 1 en el extremo inferior derecho y lo hacemos todo a la inversa ¡¡obtendremos el cuadrado mágico de Durero!!
De la misma forma, podrás hacer un cuadrado mágico con cualquier progresión aritmética. Tienes infinitas posibilidades …

 

Cuadrados diabólicos

Son aquellos que continúan siendo mágicos cuando transportamos una columna o una línea de un lado a otro. Este además también se puede descomponer en varios cuadrados mágicos (es hipermágico)

diabólico

 

Cuadrados mágicos fascinantes

Finalmente, te muestro 3 cuadrados mágicos interesantes y curiosos. Pequeñas obras de arte creadas por Blai Figueras.
Cuadrado mágico “Satánico”
De orden 6. Está compuesto exclusivamente por múltiplos de 6. Su constante mágica es 666. No lo mires demasiado tiempo, por si acaso.Menos mal que no estamos en la Edad Media …

Cuadrado mágico satánico

 

Cuadrado mágico “en un tablero de ajedrez”
De orden 8, formado por los números del 1 al 64.
  • Suma de filas,columnas y diagonales = 260
  • Suma de las 4 esquinas y los 4 números centrales= 1040
  • Suma casillas blancas=suma casillas negras= 1040
    Por si no lo sabías, me encanta el ajedrez!

cuadrado magico ajedrez

 

Cuadrado mágico doble
Existen cuadrados mágicos que pueden tener la notable propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior. Aquí tienes uno de orden 5, que contiene otro de orden 3 en su interior.
La constante del cuadrado mayor es igual a 75. El cuadrado verde más pequeño juega al 45.

cuadrado mágico doble

 

Como has podido ver las posibilidades que ofrecen los cuadrados mágicos son enormes. Espero que te haya resultado interesante.
Cuéntame, ¿Has aprendido a construirlos? 

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